সূ চি প ত্র

1. পূর্বপাঠের পুনরালোচনা

আজ দুপুরে আমরা মাঠে গাছের নীচে বসে ছবি আঁকি। ছায়া খুব ভালো ছবি আঁকতে পারে না। কিন্তু খুব ভালো ছবি আঁকে। তাই সে আমাদের আঁকা ছবির কিছু কিছু অংশ রঙ করবে।

আমি
আঁকলাম

—এই ছবির ফুলগুলির মোট সংখ্যার $\frac{1}{3}$ অংশ রঙ করবে।

—এই ছবির ফুলগুলির মোট সংখ্যার $\frac{1}{4}$ অংশ বা $\Box$ টি ফুল রঙ করবে [নিজে রঙ করি]।

—এই ছবির ফুলগুলির মোট সংখ্যার $\frac{1}{2}$ অংশ বা $\Box$ টি ফুল রঙ করবে [নিজে রঙ করি]।

—এই ছবির ফুলগুলির মোট সংখ্যার $\frac{1}{7}$ অংশ বা $\Box$ টি ফুল রঙ করবে [নিজে রঙ করি]।

মহিমা কিছু অনেকগুলি বৃত্ত আঁকল -

আমি মহিমার আঁকা বৃত্তের সংখ্যার $0.5$ অংশের মধ্যে ত্রিভুজ ও $0.2$ অংশের মধ্যে চতুর্ভুজ আঁকি - $\Box \Box \Box \Box \Box \Box \Box \Box \Box \Box$ [যেমন - $\triangle \bigcirc \Box \Box$]

—এর $\frac{1}{3}$ অংশ টাকা

নিজে আঁকি।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 1

তথ্যের ছবিগুলো শুধু ফাঁকা মাঠের।

এই ছবিতে 6 জন ছেলেমেয়ে আছে যাদের $\frac{2}{3}$ অংশ মেয়ে [নিজে আঁকি]।

কষে দেখি – 1.1

• 1) 1 টাকার $\frac{1}{2}$ অংশ = $\Box$ পয়সা।
• 2) 1 বছরের $\frac{1}{4}$ অংশ = $\Box$ মাস।
• 3) 4 টাকার $\frac{5}{8}$ অংশ = $\Box$ টাকা $\Box$ পয়সা।
• 4) 2 কিলোগ্রামের $\frac{1}{5}$ অংশ = $\Box$ গ্রাম।
• 5) 5 লিটার 2 ডেসিলিটারের $\frac{1}{2}$ অংশ = $\Box$ লিটার $\Box$ ডেসিলিটার।
• 6) একটি সংখ্যার $\frac{1}{3}$ অংশের সঙ্গে 20 যোগ করলে 35 হয়। সংখ্যাটি কত হবে হিসাব করি।
• 7) হিসাব করে দেখি $\frac{5}{7}$ -এর 2 গুণের সঙ্গে কত যোগ করলে 3 পাব।
• 8) $\frac{5}{7}$ -এর সঙ্গে কত গুণ করলে 4 পাব হিসাব করি।
• 9) $\frac{2}{3}$, $\frac{4}{6}$ ও $\frac{2}{5}$ -এর মধ্যে কোনটি সবচেয়ে ছোটো হিসাব করে দেখি।
• 10) $\frac{5}{7} \times \frac{7}{5}$ -এর মধ্যে কোনটি সবচেয়ে বড়ো হিসাব করে দেখি।
• 11) একটি সংখ্যার চতুর্বর্গ ও ঐ সংখ্যাটির অর্ধেক যোগ করলে সংখ্যাটি $1\frac{1}{2}$ হয়। সংখ্যাটি কত হবে হিসাব করে দেখি।
• 12) $(\frac{1}{2} - \frac{1}{3})$ $\div$ $(\frac{1}{4} + \frac{1}{3})$ -এর মধ্যে কত বার আছে হিসাব করে দেখি।

অধ্যায় : 1

পূর্বপাঠের পুনরালোচনা

1. উজ্জ্বলবাবু অফিস থেকে 50,000 টাকা পেয়েছেন। তিনি এই টাকার $\frac{1}{2}$ অংশ গ্রামের প্রাথমিক বিদ্যালয়ে উন্নয়নে দান করলেন। বাকি টাকার $\frac{1}{4}$ অংশ বাগানের বেড়া দিতে খরচ করলেন। অবশিষ্ট টাকার অর্ধেক স্ত্রীর নামে ব্যাংকে স্থায়ী আমানত জমা দিলেন এবং বাকি অর্ধেক নিজের নামে পোস্ট অফিসে জমা রাখলেন। উজ্জ্বলবাবু কোথায় কত টাকা দিলেন বা রাখলেন তা হিসাব করি।

প্রাথমিক বিদ্যালয়ে দান করলেন 50,000 টাকার অর্ধেক

= 50,000 টাকার $\frac{1}{2}$ অংশ

= $\frac{1}{2} \times 50,000$ টাকা

= 25,000 টাকা

বাকি রইল, $(50,000 - 25,000)$ টাকা = 25,000 টাকা

বাকি টাকার $\frac{1}{5}$ অংশ = $25,000 \times \frac{1}{5}$ অংশ = $\Box \times \Box$ টাকা = $\Box$ টাকা

বাগানে বেড়া দিতে খরচ হলো $\Box$ টাকা

অবশিষ্ট টাকা = $(25,000 - 5,000)$ টাকা = 20,000 টাকা

অবশিষ্ট টাকার অর্ধেক = $\Box$ টাকার অর্ধেক

= $\Box \times \Box$ টাকা

= $\Box$ টাকা

$\therefore$ উজ্জ্বলবাবু স্ত্রীর নামে ব্যাংকে স্থায়ী আমানতে রাখেন $\Box$ টাকা

এবং নিজের নামে পোস্ট অফিসে জমা রাখেন $\Box$ টাকা।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 1

পরের মাসে উজ্জ্বলবাবু অফিস থেকে আরও কিছু টাকা পেলেন। তিনি এই টাকার $\frac{1}{6}$ অংশ গ্রামের দাতব্য চিকিৎসালয়ে দান করলেন। তিনি 5,000 টাকা দাতব্য চিকিৎসালয়ে দান করেছিলেন। তাহলে পরের মাসে তিনি কত টাকা অফিস থেকে পেলেন হিসাব করি।

ধরি, সম্পূর্ণ টাকা = 1 অংশ

উজ্জ্বলবাবুর টাকার $\frac{1}{6}$ অংশ = 5,000 টাকা

$\therefore$ উজ্জ্বলবাবুর টাকার 1 অংশ = $(5,000 \div \frac{1}{6})$ টাকা

= $\Box \times \Box$ টাকা

= 30,000 টাকা

$\therefore$ উজ্জ্বলবাবু পরের মাসে অফিস থেকে 30,000 টাকা পেয়েছিলেন।

কষে দেখি – 1.1

1. সীতা বেগমর ফসলের দোকানে 60 টি পেয়ারা ছিল। তিনি তার মোট পেয়ারার $\frac{1}{4}$ অংশ বিক্রি করলেন। তার কাছে আর কতগুলি পেয়ারা পড়ে রইল হিসাব করি।

2. মা আমাকে 60 টাকার $\frac{5}{6}$ অংশ এবং মামাকে 45 টাকার $\frac{7}{9}$ অংশ দিয়েছেন। মা কাকে বেশি টাকা দিয়েছেন হিসাব করে দেখি।

3. গণেশবাবু তিনদিনে একটি কাজের যথাক্রমে $\frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}$ অংশ শেষ করেছেন। তিনি তিনদিনে মোট কত অংশ কাজ শেষ করেছেন এবং কত অংশ কাজ বাকি আছে হিসাব করি।

4. একটি বাঁশের দৈর্ঘ্যের $\frac{1}{3}$ অংশ লাল রঙ, $\frac{1}{5}$ অংশ সবুজ রঙ ও বাকি 14 মিটার হলুদ রঙ দিয়েছি, বাঁশটি কত মিটার লম্বা হিসাব করি।

5. একটি খাতায় তার 6.50 টাকা হলে 15 টি খাতার দাম কত হবে তা হিসাব করি।

6. একটি বাক্সে 12টি চিনি প্যাকেট আছে। প্রতিটি প্যাকেটের ওজন 2.84 কিগ্রা.। বাক্স এবং প্যাকেজগুলির মোট ওজন 36 কিগ্রা. হলে, হিসাব করে দেখি বাক্সটির ওজন কত হবে।

7. এক বস্তা চালের পরিমাণের 0.75 অংশের দাম 1800 টাকা হলে 0.15 অংশের দাম হিসাব করি।

8. অনিতা দি তার জমির পরিমাণের অর্ধেকের $\frac{2}{3}$ অংশ নিজের ভাইকে দিয়েছেন এবং বাকি জমি তিন ছেলেকে সমানভাগে ভাগ করে দিলেন। প্রত্যেক ছেলে কত অংশ জমি পেল তা একটি চিত্রের সাহায্যে দেখাই।

অধ্যায় : 1

পূর্বপাঠের পুনরালোচনা

9. সরল করি :

• (i) $\frac{13}{25} \times \frac{7}{8}$
• (ii) $\frac{2}{5} \times 2 \frac{2}{21}$
• (iii) $10 \frac{3}{10} \times 6 \frac{4}{3} \times \frac{3}{11}$
• (iv) $0.025 \times 0.02$
• (v) $0.07 \times 0.2 \times 0.5$
• (vi) $0.029 \times 2.5 \times 0.002$

10. সরল করি :

• (i) $3 \frac{3}{4} + 2 \frac{1}{2}$
• (ii) $\frac{50}{51} \div 15$
• (iii) $1 + \frac{5}{6}$
• (iv) $1 \frac{5}{6} \div \frac{13}{21} \times \frac{1}{22}$
• (v) $1 \frac{1}{4} + 1 \frac{13}{2} \div 1 \frac{1}{2}$
• (vi) $\frac{9}{10} \div 3 \frac{2}{8} \times \frac{2}{5}$
• (vii) $2 \frac{1}{3} + 1 \frac{1}{6} + 2 \frac{1}{4}$
• (viii) $20 \div 7 \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \div \frac{5}{5}$
• (ix) $3 \div 15 \div 2.5$
• (x) $35.4 \div 0.03 \times 0.06$
• (xi) $2.5 \times 6 \div 0.5$

11. ছবি দেখে নিচের মতো লিখি :

• (i)
  

  $\rightarrow$

  

  $\frac{1}{4}$

  $\frac{1}{4}$

  $2 \times \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

• (ii)
  

  $\rightarrow$

  
• (iii)
  

  $\rightarrow$

  
• (iv)
  

  $\rightarrow$

  

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 1

সরল বা ব্যস্ত সমানুপাত খুঁজি

2. এবার ছুটিতে আমরা পুরী বেড়াতে যাব। সেইজন্য বাবা 920 টাকায় 4টি টিকিট কিনে আনলেন। আমার তিনবোন বন্ধুর আমাদের সঙ্গে বেড়াতে যেতে চাইল। আমরা মোট $(4+3)$ জন = 7 জন যাব। আরও তিনটি টিকিট কিনতে হবে। 3 টি টিকিটের দাম কত হবে দেখি।

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি -

টিকিটের সংখ্যা ও টিকিটের দাম $\Box$ সম্পর্কে আছে। কারণ বেশি টিকিটের জন্য $\Box$ টাকা লাগবে।

ঐকিক নিয়মে সমাধান করে পাই,

4 টি টিকিটের দাম 920 টাকা

1 টি টিকিটের দাম $\frac{920}{4}$ টাকা

3 টি টিকিটের দাম $\frac{920^{230}}{4} \times 3 = 690$ টাকা

আরও 3টি টিকিট কিনতে 690 টাকা লাগবে।

3. কোনো সম্পত্তির মোট পরিমাণের $\frac{9}{10}$ অংশ = $\Box$ অংশ হলে, ওই সম্পত্তির মোট পরিমাণের $\frac{1}{2}$ অংশ মূল্য কত দেখি।

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো,

সম্পত্তির অংশ বাড়লে মূল্য $\Box$। তাই সম্পত্তির অংশের সঙ্গে মূল্য $\Box$ সম্পর্কে আছে।

$\therefore$ ঐকিক নিয়মে সমাধান করে পাই, $\frac{9}{10}$ অংশের মূল্য 6543 টাকা

1 অংশের মূল্য $\Box \div \Box$ টাকা = $\Box$ টাকা

$\frac{1}{2}$ অংশের মূল্য $\Box \times \Box$ টাকা = 3635 টাকা

অধ্যায় : 1

পূর্বপাঠের পুনরালোচনা

4. 6 জন লোক 7 দিনে একটি কাজ করে। ওই কাজ 21 দিনে শেষ করতে হলে কতজন লোক দরকার দেখি।

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো,

দিনসংখ্যার সঙ্গে লোকসংখ্যার সম্পর্ক $\Box$।

একটি নির্দিষ্ট কাজের জন্য দিনসংখ্যা বাড়লে লোক $\Box$ লাগে।

ঐকিক নিয়মে সমাধান করে পাই, একটি কাজ 7 দিনে শেষ করে 6 জন লোক

ওই কাজ 1 দিনে শেষ করে $6 \times \Box$ জন লোক

সুতরাং, কাজটি 21 দিনে করে $\Box \div \Box$ জন লোক

$\therefore$ ওই কাজটি 21 দিনে শেষ করতে 2 জন লোক দরকার।

নিজে করি – 1.2

• 1) একটি চাকা 55 বার ঘুরে 77 মিটার পথ যায়। তবে 98 মিটার পথ যেতে ওই চাকা কতবার ঘুরবে হিসাব করি।
• 2) দীপুক প্রত্যেক সপ্তাহে একদিন সাঁতার শিখতে যায়। 364 দিনে সে মোট কতদিন সাঁতার শিখতে যায় হিসাব করি।
• 3) কবিতার 120 টি কাগজের প্রয়োজন। প্রত্যেক দিস্তায় 24 টি কাগজ আছে। কবিতা কত দিস্তা কাগজ কিনবে হিসাব করি।
• 4) এক ডজন ডিমের দাম 48 টাকা হলে, 32 টি ডিমের দাম কত হবে হিসাব করে দেখি।
• 5) প্রতিদিন 5 ঘণ্টা কাজ করলে 30 দিনে একটি কাজ শেষ করা যায়। প্রতিদিন 6 ঘণ্টা কাজ করলে কত দিনে সেই কাজ শেষ করা যাবে হিসাব করি।
• 6) কোনো সম্পত্তির মোট পরিমাণের $\frac{1}{2}$ অংশের মূল্য 2825 টাকা। ওই সম্পত্তির মোট পরিমাণের $\frac{2}{7}$ অংশের মূল্য কত টাকা হিসাব করি।
• 7) একটি শিবিরে 48 জন সেনার 7 সপ্তাহের খাবার মজুদ আছে। যদি ওই দলে আরও 8 জন সেনা যোগ দেয়, তবে ওই পরিমাণে খাবারে কত সপ্তাহ চলবে হিসাব করে দেখি।
• 8) একটি জাহাজে 50 জন নাবিকের 16 দিনের খাবার মজুদ আছে। 10 দিন পরে আরও 10 জন নাবিক তাদের সঙ্গে যোগ দিলেন। বাকি খাবারে সকলের আর কত দিন চলবে হিসাব করে দেখি।
• 9) 20 জন লোক ঠিক করল 30 দিনে তারা একটা বাড়ি সারানোর কাজ সম্পূর্ণ করবে। কিন্তু 6 দিন পরে তাদের মধ্যে 8 জন লোক অসুস্থ হয়ে পড়ল। হিসাব করে দেখি কত দিনে তারা বাড়ি সারানোর কাজ শেষ করবে।
• 10) 25 জন কৃষক 12 দিনে 15 বিঘা জমি চাষ করেন। তাহলে 30 জন কৃষক 16 দিনে কত বিঘা জমি চাষ করবেন হিসাব করে দেখি।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 1

নীচের 100 টি সমান ঘরের ছক কাগজের বিভিন্ন অংশ রঙ করি:

লাল রঙ দিয়েছি, 100 ভাগের 4 ভাগ = $\frac{4}{100}$ অংশ

= 0.04 অংশ

= শতকরা 4 বা 4% ঘরে।

হলুদ রঙ দিয়েছি, 100 ভাগের $\Box$ ভাগে = $\Box$ অংশ

= শতকরা $\Box$ বা $\Box$ % ঘরে।

ফাঁকা ঘর পূরণ করি:

অধ্যায় : 1

পূর্বপাঠের পুনরালোচনা

আজ সকালে স্কুল থেকে খুব বৃষ্টি হয়েছে। স্বপন ভেবেছিল স্কুলে যাবে না। কিন্তু স্কুলে না গেলে তপরের ভালো লাগে না। তাই সে ছাতা মাথায় দিয়ে কোনোরকমে স্কুলে গেল। রাস্তায় খুব জল জমেছে। অনেকে স্কুল আসতে পারেনি। অনেকে আবার ভিজে ভিজে অফিস থেকে বাড়ি চলে গেছে।

5. স্কুলে আমাদের ক্লাসে 30 জন এসেছে। আমাদের ক্লাসে মোট ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা 60 জন। আমরা শতকরা কতজন এসেছি হিসাব করে দেখি।

60 জনের মধ্যে এসেছে 30 জন

1 জনের মধ্যে এসেছে $\frac{30}{60}$ জন

100 জনের মধ্যে এসেছে $\Box \times \Box$ জন = 50 জন

$\therefore$ আজ আমাদের ক্লাসে উপস্থিতির সংখ্যা শতকরা 50 বা 50%।

কিন্তু গতকাল আমাদের ক্লাসে 25% অনুপস্থিত ছিল।

হিসাব করে দেখি গতকাল কতজন আসেনি

25% অনুপস্থিত ছিল।

অর্থাৎ,

100 জনের মধ্যে অনুপস্থিত ছিল 25 জন

1 জনের মধ্যে অনুপস্থিত ছিল $\frac{25}{100}$ জন

60 জনের মধ্যে অনুপস্থিত ছিল $\Box \times \Box$ জন

= 15 জন

$\therefore$ গতকাল আমাদের ক্লাসে 15 জন অনুপস্থিত ছিল।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 1

কষে দেখি – 1.2

• 1. (i) 2 টাকার $12\frac{1}{2}$ % কত পয়সা দেখি।
• (ii) 840 গ্রামের 30% কত গ্রাম দেখি।
• (iii) 25 টাকার 8% কত টাকা দেখি।
• (iv) 55 গ্রাম, 5 কিলোগ্রামের শতকরা কত দেখি।
• (v) 1.25 টাকা, 5 টাকার শতকরা কত দেখি।
• (vi) 16 লিটার 100 লিটারের শতকরা কত দেখি।

2. একটি বাড়ির $\frac{1}{5}$ অংশ রঙ করা হয়েছে। বাড়িটির শতকরা কত রঙ করা বাকি আছে হিসাব করি।

3. নূরজাহানের শ্রেণিতে 30% ছাত্রী আছে। শ্রেণির মোট ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা 60 জন। হিসাব করে দেখি নূরজাহানের শ্রেণিতে মোট কতজন ছাত্র আছে।

4. 120 কিগ্রা. মিশ্র সারে ইউরিয়া ও পটাশের পরিমাণ যথাক্রমে 60% ও 40%। ওই মিশ্র সারে কোন্ সার কত কিগ্রা. আছে হিসাব করে লিখি।

5. আমার স্কুলের খাতার দাম ছিল 10 টাকা। এখন সেই খাতা আমি 12 টাকায় কিনি। হিসাব করে দেখি খাতার দাম শতকরা কত বেড়েছে।

6. সুমিয়ার বাড়ি থেকে স্কুলে যেতে 4 টাকা বাসভাড়া লাগত। এখন তাকে ওই দূরত্বে যেতে 6 টাকা বাসভাড়া দিতে হয়। বাসভাড়া শতকরা কত বেড়েছে হিসাব করি।

7. চিনি দাম বাড়ার জন্য 125 টাকায় যে পরিমাণ চিনি কিনতাম, এখন 150 টাকায় সেই পরিমাণ চিনি কিনি। এখন চিনির দাম শতকরা কত বেড়েছে হিসাব করে দেখি।

8. রোজিনা 1 দিনে 90 টি অঙ্ক করেছে। শেফালি ওই সময়ে 65টি অঙ্ক করেছে। ওই সময়ে রোজিনা শেফালির থেকে শতকরা কত বেশি অঙ্ক করেছে হিসাব করে দেখি। শেফালি ওই সময়ে রোজিনার থেকে শতকরা কত কম অঙ্ক করেছে হিসাব করি।

9. সুহাস বাবু তাঁর মাসিক আয়ের $66\frac{2}{3}$ % খরচ করেন। তিনি যদি মাসে 3250 টাকা খরচ করেন তবে তাঁর মাসিক আয় কত হবে হিসাব করে দেখি।

10. নীচের মোট ছোটো ঘরগুলির 10% ঘরে লাল রঙ ও 40% ঘরে হলুদ রঙ দিই।

অধ্যায় : 1

পূর্বপাঠের পুনরালোচনা

সুবীর ও মাসুম অঙ্ক ঠিক করেছে যে তারা দুজনে নতুন খেলা তৈরি করবে।

সুবীর 12 টি সমান বর্গক্ষেত্রাকার ঘরকাটা কাগজ তৈরি করল ও লাল রঙ দিল। মাসুমও একইরকম 12 টি সমান বর্গক্ষেত্রাকার ঘরকাটা কাগজ তৈরি করল ও হলুদ রঙ দিল।

সুবীরের লাল রঙের কাগজে আমি 12 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 লিখলাম।

মাসুমের হলুদ রঙের কাগজে আমি -12 | -11 | -10 | -9 | -8 | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 লিখলাম।

এবার দুজনে কাগজের টুকরো দুটির মাঝে একটি নতুন সবুজ রঙের একই মাপের বর্গক্ষেত্রাকার কাগজে 0 লিখলাম।

তারা ঠিক করল, একটি ছক্কা নিয়ে প্রত্যেককে দু-বার চালাবে।

প্রথমবারে যে সংখ্যা পাবে ততঘর 0-র ডানদিকে যাবে

এবং দ্বিতীয়বারে যে সংখ্যা পাবে ততঘর আগের পাওয়ার জায়গার বামদিকে আসবে।

সুবীর প্রথমে দু-বার ছক্কা ছুঁড়ে পেল 4 ও 3

তাই সে 0-র ডানদিকে 4 ঘর গেল। আবার সেখান থেকে 3 ঘর বামদিকে সরে এল।

+4

সুবীর প্রথমে দু-বার ছক্কা ছুঁড়ে দিয়ে আসল $4+(-3)$ ঘর। অর্থাৎ দু-বার ছক্কা ছুঁড়ে দিয়ে পেল, $4+(-3)=1$

এবার মাসুম দু-বার ছক্কা ছুঁড়ল। কিন্তু মাসুমের প্রথমবার পাওয়ার 4 ও দ্বিতীয়বারের 3 পেল।

মাসুম বলল, আমি যদি প্রথমে 0-র বামদিকে 3 ঘর যাই, তারপরে সেখান থেকে 4 ঘর ডানদিকে আসি অর্থাৎ $(-3)+(+4)$ করি কী পাই দেখি-

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 1

মাসুম এভাবে দু-বার ছক্কা ছুঁড়ে দিয়ে পেল 1। অর্থাৎ মাসুম দু-বার ছক্কা ছুঁড়ে দিয়ে পেল $(+4)+(-3) = \Box$

পেলাম, $(+4)+(-3) = (+1)$

সংখ্যারেখায় অন্য পূর্ণসংখ্যা যাচাই করি -

• 6) $(-5) + (\Box) = (\Box) + (-5) = \Box$
• 7) $(+7) + (+2) \Box (+2) + (+7) [\ne / = \text{বসিয়ে পাই}]$
• 8) এইরকম যেকোনো 4টি সম্পর্ক যাচাই করি। [নিজে করি]

দেখছি সংখ্যারেখাতেও পূর্ণসংখ্যার যোগ বিনিময় নিয়ম মেনে চলে।

কিন্তু পূর্ণসংখ্যার বিয়োগ বিনিময় নিয়ম মেনে চলে কি? সংখ্যারেখায় বিয়োগ করে দেখি

9. সংখ্যারেখায় $(+4)-(-3)$ এর মান খুঁজি।

$(+4)-(-3) = (+4) + (+3)$

$(-3)$-র বিপরীত সংখ্যা $+3$

0-র ডানদিকে 4 ঘর গিয়ে সেখান থেকে আরও 3 ঘর ডানদিকে গিয়ে 7-এ এলাম।

সংখ্যারেখায় পেলাম, $(+4)-(-3) = 7$

10. আমি সংখ্যারেখায় $(-3)-(+4)$-এর মান খুঁজি।

$(-3)-(+4) = (-3) + (-4)$

$(+4)$-এর বিপরীত সংখ্যা $-4$

সংখ্যারেখা থেকে পাইছি, $-3-(+4) = -7$

$\therefore (+4)-(-3) = \Box (-3)-(+4) [\ne / = \text{বসিয়ে পাই}]$

অধ্যায় : 1

পূর্বপাঠের পুনরালোচনা

11. অন্য সংখ্যা যাচাই করে দেখি। [নিজে করি]

দেখছি, সংখ্যারেখায় পূর্ণসংখ্যার বিয়োগ বিনিময় নিয়ম মেনে চলে না।

12. নিচে সংখ্যারেখায় যাচাই করি -

• (i) $(+6) - (+7) \Box (+7) - (+6)$
• (ii) $0 - (-2) \Box (-2) - 0$
• (iii) $(-8) - (-5) \Box (-5) - (-8)$
• (iv) $(-13) - (+13) \Box (+13) - (-13)$
• (v) $(-9) - (+5) \Box (+5) - (-9)$
• (vi) $(+15) + 0 \Box 0 + (+15)$
• (vii) $(-7) + 0 \Box 0 + (-7)$
• (viii) $(+11) + (-11) \Box (-11) + (+11)$

এবার আমরা সংখ্যারেখা সাহায্যে যোগ ও বিয়োগ করি।

13. $(+7) + (+5)$ কী পাই দেখি :

পেলাম, $(+7)+(+5) = +12$

14. $(+8) + (-9)$ কী পাই দেখি :

পেলাম, $(+8)+(-9) = -1$

15. $(+6) + \{(-2) + (-3)\}$ কী পাই দেখি- $(+6) + \{(-2) + (-3)\} = (+6) + (-5) = (+1)$

16. এবার $\{(+6) + (-2)\} + (-3)$ = কী পাই দেখি- $\{(+6) + (-2)\} + (-3) = (+4) + (-3) = (+1)$

দেখছি $(+6) + \{(-2) + (-3)\} = \{(+6) + (-2)\} + (-3)$

$\therefore$ পূর্ণসংখ্যার যোগ সংযোগ নিয়ম মেনে চলে।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 1

এবার দেখি পূর্ণসংখ্যার বিয়োগ সংযোগ নিয়ম মেনে চলে কি?

$(+6) - \{(-2) - (-3)\}$

$= (+6) - \{(-2) + (+3)\}$ [$'-3'$ এর বিপরীত সংখ্যা $+3$]

$= (+6) - \{(+1)\}$

$= (+6) + (-1) = +5$

আবার, $\{(+6) - (-2)\} - (-3)$

$= \{(+6) + (+2)\} - (-3)$ [$'-2'$ এর বিপরীত সংখ্যা $+2$]

$= (+8) - (-3) = (+8) + (+3) = +11$

$\therefore (+6) - \{(-2) - (-3)\} \ne \{(+6) - (-2)\} - (-3)$

অর্থাৎ, পূর্ণসংখ্যার বিয়োগ সংযোগ নিয়ম মেনে চলে না।

কষে দেখি – 1.3

1. নীচের সংখ্যারেখা থেকে মান নির্ণয় করি :

• (i) $(+6) + (+3) = \Box$
• (ii) $(+3) + (+6) = \Box$
• (iii) $(+2) + (-2) = \Box$
• (iv) $(-4) + (+4) = \Box$
• (v) $(+3) + (-6) = \Box$
• (vi) $(+3) - (-6) = \Box$
• (vii) $(-6) + (-3) = \Box$
• (viii) $(-6) - (-3) = \Box$
• (ix) $(-6) + (-5) = \Box$
• (x) $(-4) - (-4) = \Box$

2. সংখ্যারেখা এঁকে উদাহরণের সাহায্যে যোগের বিনিময় নিয়ম দেখাই।

3. সংখ্যারেখা এঁকে উদাহরণের সাহায্যে বিয়োগের বিনিময় নিয়ম মেনে চলে কিনা দেখি।

4. নিজে সংখ্যারেখার সাহায্যে যাচাই করি -

• (i) $(+2) + \{(+3) + (+5)\} = \{(+2) + (+3)\} + (+5)$
• (ii) $(-8) + \{(-2) + (-6)\} = \{(-8) + (-2)\} + (-6)$
• (iii) $(+2) - \{(-3) - (-5)\} \ne \{(+2) - (-3)\} - (-5)$
• (iv) $(-8) - \{(-2) - (-6)\} \ne \{(-8) - (-2)\} - (-6)$

অধ্যায় : 1

পূর্বপাঠের পুনরালোচনা

17. আজ রবিবার। স্কুলে ছুটি। তাই মাশিফ ঠিক করেছে তার পড়ার টেবিলের উপরের চারধার রঙিন কাগজ দিয়ে মুড়ে দেবে। কিন্তু কত দৈর্ঘ্যের কাগজ কিনবে দেখি।

মাশিফ ফিতে দিয়ে মেপে দেখল

টেবিলের দৈর্ঘ্য 90 সেমি. এবং প্রস্থ 60 সেমি.

রঙিন কাগজ লাগবে = $\Box \times (\Box + \Box)$ সেমি.

= $\Box \times \Box$ সেমি. = 300 সেমি.

18. হাসিনাদের বাড়ির চারদিকে বেড়া দেওয়া হবে। জমির আকৃতি $\rightarrow$

4 মি.   12 মি.

9 মি.   5 মি.

8 মি.

হাসিনাদের বাড়ির চারদিকে ঘেরতে $(5 \text{মি.}+8\text{মি.}+9\text{মি.}+4\text{মি.}+12\text{মি.})$

= 38 মিটার লম্বা বেড়া লাগবে।

19. রফিকুল 121 বর্গমিটার বর্গক্ষেত্রাকার জমির একধারে ফুল লাগাবে। কততা লম্বা জমিতে ফুলগাছ লাগাবে হিসাব করে দেখি।

$\sqrt{121} = 11$

11

121

- 1

21

- 21

0

$\therefore$ রফিকুল 11 মিটার লম্বা জমিতে ফুলগাছ লাগাবে।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 1

2. নীচের চিত্রগুলি কতটা জায়গা দখল করে আছে দেখি। [প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গঘর 1 বর্গসেমি.]

a   d   e

b   c   f

3. নিজেরা ছক-কাগজ তৈরি করে 25 বর্গঘর, 40 বর্গঘর, 36 বর্গঘর ও 62 বর্গঘর দখল করে আছে এমন চিত্র আঁকি।

4. নীচের ছক-কাগজের বর্গক্ষেত্রগুলোর এক একটি বাহুর দৈর্ঘ্য মাপি এবং ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।

[ধরি, একটি ক্ষুদ্রতম বর্গঘর = এক বর্গসেমি.]

a)

b)

c)

d)

অধ্যায় : 1

পূর্বপাঠের পুনরালোচনা

5. গ.সা.গু. নির্ণয় করি :

• (i) $5^2 \times 8^3$
• (b) 4225
• (c) 10609
• (d) 108241
• (e) 186624
• (f) $(2^4 \times 10^2)$

6. 3000-এর নিকটতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা খুঁজি যা (a) 3000 থেকে বড়ো (b) 3000 থেকে ছোটো।

7. 9545 থেকে কোন ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে হিসাব করে দেখি।

8. 50-এর সঙ্গে কোন ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে লিখি।

9. বাবুইপুরের এক পেয়ারা বাগানে 1764 পেয়ারাগাছ লাগানো হয়েছে। যতগুলি সারিতে পেয়ারাগাছ লাগানো হয়েছে প্রতি সারিতে ততগুলি পেয়ারাগাছ আছে। হিসাব করে দেখি প্রতি সারিতে কতগুলি পেয়ারাগাছ আছে।

10. হেমিংপাখি ও ওষুধ রাখার বাক্সে 1225 টি শিশি রাখার ঘর আছে। যতগুলি সারিতে ওষুধ রাখা যাবে তা এমনভাবে সাজানো আছে যে যতগুলি সারি আছে প্রতি সারিতে ততগুলি ঘর আছে। হিসাব করে দেখি বাক্স কতগুলি সারি আছে।

11. তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার প্রথম ও দ্বিতীয়টির গুণফল 24, দ্বিতীয় ও তৃতীয়টির গুণফল 48 এবং প্রথম ও তৃতীয়টির গুণফল 32; সংখ্যা তিনটি কী কী তা হিসাব করে দেখি।

12. শিক্ষাবৃত্তি প্রকল্পেন যখন যতজন সদস্য সমস্যা পাটাগুচ্ছ টাকা দিযেছে। মোট 515205 টাকা চাদা উঠেছে। হিসাব করে দেখি ক্লাবের সদস্য সংখ্যা কত।

13. দণ্ডাগুলি-এর এক বাগানে কমলালেবু 1080টি কমলালেবু পেয়েছে। সেই কমলালেবু কতগুলি বুড়ি এনে তার প্রতিটিতে বুড়ি সমান সমান কমলালেবু রাখতে গিয়ে দেখলেন 9টি কমলালেবু কম পড়ছে। তিনি কতগুলি বুড়ি এনেছিলেন হিসাব করে দেখি।

14. বড়তলার একটি পুকুর সংস্কার করতে পঞ্চায়েত যতজন লোক নিযুক্ত করেছিলেন তারা ততদিন কাজ করে মোট 12375 টাকা পেয়েছেন। প্রত্যেকে দৈনিক যদি 55 টাকা পান, তবে কতজন লোক কাজ করেছিলেন হিসাব করে দেখি।

15. চার অঙ্কের কোন বৃহত্তম পূর্ণবর্গ সংখ্যা 12, 18 ও 30 দ্বারা বিভাজ্য হিসাব করে দেখি।

16. পাঁচ অঙ্কের কোন ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা 8, 15, 20 ও 25 দ্বারা বিভাজ্য হিসাব করে দেখি।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 1

সুहाना ও অর্পিতা আজ বাড়িতে দড়িদড়া তৈরি করবে। একটি কাঠের লাঠি AB দিলা। কিন্তু AB-এর মধ্যবিন্দুতে আংটা লাগাতে হবে।

AB-এর কোন বিন্দুটি মধ্যবিন্দু হবে? কীভাবে পাব?

স্কেলের সাহায্যে মেপে দেখলাম AB-এর দৈর্ঘ্য 14 সেমি.। স্কেলের সাহায্যে মধ্যবিন্দু পাব 14 সেমি. $\div$ 2 = 7 সেমি.-তে।

20. পেনসিল-কম্পাসের সাহায্যে কেমন করে মধ্যবিন্দু বের করব দেখি?

(i) স্কেল ও পেনসিলের সাহায্যে একটি 7 সেমি. দৈর্ঘ্যের একটি সরলরেখাংশ নিলাম।

অধ্যায় : 1

পূর্বপাঠের পুনরালোচনা

(ii) পেনসিল কম্পাসের কাঁটা A বিন্দুতে বসিয়ে AB-এর দৈর্ঘ্যের অর্ধেকের বেশি দৈর্ঘ্য (ব্যাসার্ধ) নিলাম এবং ওই ব্যাসার্ধ নিয়ে AB-এর উপরে ও নীচে দুটি বৃত্তচাপ আঁকলাম।

A   B

(iii) একইভাবে পেনসিল কম্পাসের কাঁটা B বিন্দুতে বসিয়ে ওই একই দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে AB-এর উপরে ও নীচে দুটি বৃত্তচাপ আঁকলাম।

A   B

P   Q

(iii) বৃত্তচাপ দুটি আগের আঁকা বৃত্তচাপ দুটিকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করল। P ও Q বিন্দু দুটি স্কেল বসিয়ে পেনসিল দিয়ে যোগ করে AB-এর মধ্যবিন্দু O পেলাম।

A   O   B

P

Q

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 1

কষে দেখি – 1.5

1. স্কেলের সাহায্যে PQ একটি সরলরেখাংশ আঁকি যার দৈর্ঘ্য 9 সেমি.। পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে PQ সরলরেখাংশকে সমদ্বিখণ্ডিত করে প্রতি অংশের দৈর্ঘ্য মাপি।

2. স্কেলের সাহায্যে 12 সেমি. দৈর্ঘ্যের সরলরেখাংশ এঁকে তাকে পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে সমান 4টি ভাগে ভাগ করি এবং প্রতি ভাগের দৈর্ঘ্য কত হয়েছে কিনা মেপে দেখি।

3. চাঁদার সাহায্যে $72^\circ$ কোণ আঁকি। পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে কোণটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করি। চাঁদার সাহায্যে মেপে দেখি কোণটি সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে কিনা।

4. AB সরলরেখার B বিন্দুতে পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে BC লম্ব আঁকি ও পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে $\angle ABC$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করি।

5. MN সরলরেখার বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে MN সরলরেখাংশের উপর বা বর্ধিত MN সরলরেখাংশের উপর লম্ব অঙ্কন করি।

6. স্কেল ও পেনসিলের সাহায্যে ABC একটি যেকোনো ত্রিভুজ আঁকি। ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে সমদ্বিখণ্ডিত করি। বাহুর সমদ্বিখণ্ডক তিনটি সমবিন্দু কিনা দেখি।

7. চাঁদার সাহায্যে $80^\circ$ ও $100^\circ$ কোণ আঁকি এবং পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে $80^\circ$ ও $100^\circ$ কোণের সমান করে দুটি কোণ আঁকি। কোণদুটি কী রূপ লিখি।

8. স্কেল ও পেনসিলের সাহায্যে ABC একটি যেকোনো ত্রিভুজ আঁকি। ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে সমদ্বিখণ্ডিত করি। বাহুর সমদ্বিখণ্ডক তিনটি সমবিন্দু কিনা দেখি।

জ্যামিতি বাক্সের কী কী আছে দেখি।

চাঁদার সাহায্যে $\Box$ মাপি। স্কেলের সাহায্যে $\Box$ মাপি। পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে $\Box$ আঁকি।

দুটি সেক্টিস্কারের কী কী করতে পারি দেখি

একটি সেক্টিস্কারের কোণগুলি $\Box$ ও $\Box$ ; অন্য সেক্টিস্কারের কোণগুলি $\Box$ ও $\Box$।

দুটি 30°-60°-90° সেটস্কোয়ার
ছবির মতো চিত্র পেলাম।

অধ্যায় : 1

পূর্বপাঠের পুনরালোচনা

কষে দেখি – 1.6

1. দুটি 45°-45°-90° সেটস্কোয়ারকে মিলিয়ে $\Box$ চিত্র তৈরি করি।

2. দুটি 30°-60°-90° সেটস্কোয়ার মিলিয়ে $\Box$ পেলাম।

3. সেটস্কোয়ারের সাহায্যে আমরা রম্বস ও ট্রাপিজিয়াম আকারের চিত্র তৈরি করি।

4. সত্য/মিথ্যা যাচাই করি:

• (1) বর্গাকার চিত্রের প্রতিটি কোণ সমকোণ।
• (2) যেকোনো আয়তাকার চিত্রের প্রতিটি বাহু সমান।
• (3) রম্বসের চারটি বাহুই সমান।
• (4) যেকোনো সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলি সমান।
• (5) যেকোনো ট্রাপিজিয়ামের প্রতিটি বাহু সমান।
• (6) যেকোনো আয়তাকার চিত্রের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান।

5. কারণ দেখাই:

• (1) বর্গাকার চিত্র, আয়তাকার চিত্র ও সামান্তরিক সকলেই চতুর্ভুজ।
• (2) সকল আয়তাকার চিত্রই সামান্তরিক।
• (3) সকল বর্গাকার চিত্রই আয়তাকার চিত্র।
• (4) সকল সামান্তরিকই ট্রাপিজিয়াম।
• (5) সকল রম্বসই সামান্তরিক।

6. নীচের ছকটি পূরণ করি:

2. অনুপাত

আজ সুপ্রিয়া ও পার্থিক করেছে নিজেদের পেনসিলের দৈর্ঘ্য মাপে ও তুলনা করবে। সুপ্রিয়ার পেনসিলের দৈর্ঘ্য 12 সেমি.। আর পার্থর পেনসিলের দৈর্ঘ্য 10 সেমি.। সুপ্রিয়ার পেনসিলের দৈর্ঘ্য পার্থর পেনসিলের দৈর্ঘ্যের থেকে $\Box$ সেমি. - $\Box$ সেমি. = 2 সেমি. বড়ো।

পার্থ বলল তার স্কুলের বেঞ্চের দৈর্ঘ্য তার পেনসিলের দৈর্ঘ্য থেকে বেশি।

এবার পার্থ ঠিক করল তার পেনসিলের দৈর্ঘ্য ও স্কুলের বেঞ্চের দৈর্ঘ্য তুলনা করবে।

সে স্কেল দিয়ে মেপে দেখল বেঞ্চের দৈর্ঘ্য 200 সেমি.

এত বড়ো ও এত ছোটো দৈর্ঘ্য কীভাবে তুলনা করি?

আমার পেনসিল দিয়ে বেঞ্চটির দৈর্ঘ্য কতবার মাপা যায় দেখি।

পার্থ দেখল বেঞ্চটির দৈর্ঘ্যকে পেনসিলের দৈর্ঘ্য দিয়ে ভাগ করলেই তো সেটা জানা যাবে।

তাই তো, $\frac{\text{বেঞ্চটির দৈর্ঘ্য}}{\text{পার্থর পেনসিলের দৈর্ঘ্য}} = \frac{\Box \text{ সেমি.}}{\Box \text{ সেমি.}} = 20$

1

দেখছি, বেঞ্চের দৈর্ঘ্য পার্থর পেনসিলের দৈর্ঘ্যের 20 গুণ।

এইভাবে ভাগের মাধ্যমে তুলনা করাকে 'অনুপাত' বলা হয় এবং অনুপাত ':' এই চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ স্কুলের বেঞ্চের দৈর্ঘ্য : পার্থর পেনসিলের দৈর্ঘ্য = 200 : 10 = 20 : 1

1. সুপ্রিয়াদের শ্রেণিতে 30 জন ছেলে এবং 20 জন মেয়ে আছে। সুপ্রিয়াদের শ্রেণিতে ছেলে ও মেয়ের সংখ্যার অনুপাত কত দেখি।

সুপ্রিয়াদের শ্রেণিতে ছেলে ও মেয়ের সংখ্যার অনুপাত = 30 : 20

= 3 : 2

2. একটি টিকটিকির দৈর্ঘ্য 25 সেমি. ও একটি কুমিরের দৈর্ঘ্য 4 মিটার। এদের দৈর্ঘ্যের অনুপাত বের করি। (নিজে করি)

অধ্যায় : 2

অনুপাত

মেঘমালা এখন একটা ছোটো ঘর ভাড়ার জন্য আছে। এতে ছোটো ঘরে ওরে থাকতে অসুবিধা হয়। তাই ওরা ওদের জমিতে বাড়ি শুরু করেছে। মিস্ত্রিরা সিমেন্ট ও বালি মিশিয়ে মশলা তৈরি করেছে। মেঘলা রোজ ওদের কাজ দেখে। সে মশলা মাখা দেখে অবাক হয়ে যায়। সে দেখে প্রতিবারে মিস্ত্রিরা 1 কড়া সিমেন্টের সঙ্গে 5 কড়া বালি মেশাচ্ছে।

তোমরা কী হিসাবে মশলা তৈরি করো?

আমরা সিমেন্ট ও বালির পরিমাণ 1:5 অনুপাতে মেশাই

বুঝলাম না। যদি 2 কড়া সিমেন্ট নিয়ে মশলা করো তবে কী হবে?

তখন 10 কড়া বালি মেশাতে হবে।

এবার বুঝেছি। একইরকম মশলা তৈরি করতে হলে -

1 কড়া সিমেন্টের সঙ্গে 5 কড়া বালি মেশাতে হবে।

2 কড়া সিমেন্ট নিলে $5 \times 2$ কড়া = 10 কড়া বালি মেশাতে হবে।

আবার 3 কড়া সিমেন্ট নিলে $5 \times 3$ কড়া = 15 কড়া বালি মেশাতে হবে।

অর্থাৎ, একই রকম মশলা তৈরি করতে যতগুন সিমেন্ট বাড়াব ততগুন বালি পরিমাণ বাড়াতে হবে।

অর্থাৎ, $\frac{\text{সিমেন্টের পরিমাণ}}{\text{বালির পরিমাণ}}$ সর্বদা একই থাকবে।

একে আমরা সিমেন্ট ও বালির পরিমাণের অনুপাত বলব ও লিখব সিমেন্টের পরিমাণ : বালির পরিমাণ = 1 : 5

তাদের বাড়ির বাইরের গাঁথুনি শুরু হলো।

মিস্ত্রিরা নতুন মশলা তৈরি করল এভাবে –

মিস্ত্রিরা 1 কড়া সিমেন্টের সঙ্গে 7 কড়া বালি মেশাল।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 2

নতুন মশলায় কি সিমেন্ট ও বালির পরিমাণের অনুপাত 1 : 7 ?

ঠিক বলেছ। আগের মশলা থেকে এই মশলার তফাৎ কী জানো?

বুঝেছি গাঁথুনির মশলা তৈরি করতে 2 কিগ্রা. সিমেন্টের সঙ্গে $7 \times 2 = 14$ কিগ্রা. বালি মেশাতে হবে।

4 কিগ্রা. সিমেন্টের সঙ্গে $\Box \times \Box$ কিগ্রা. = $\Box$ কিগ্রা. বালি মেশাতে হবে।

10 কিগ্রা. সিমেন্টের সঙ্গে $\Box \times \Box$ কিগ্রা. = $\Box$ কিগ্রা. বালি মেশাতে হবে।

মেঘলার বন্ধু ফরিদ এল।

আমাদের বাড়ির গাঁথুনি দেওয়ার সময় 2 বস্তা সিমেন্টের সঙ্গে 12 বস্তা বালি মেশানো হয়েছিল। তাহলে কী অনুপাতে মেশানো হয়েছিল?

সিমেন্টের পরিমাণ : বালির পরিমাণ = 2 : 12

= 1 : 6 (2 দিয়ে উভয় পদকে ভাগ করে পাই)

অর্থাৎ, ফরিদের বাড়ির গাঁথুনি তৈরির সময় যে মশলা ব্যবহার করা হয়েছিল তাতে সিমেন্ট ও বালির পরিমাণের অনুপাত ছিল 1 : 6

অনুপাতের সংখ্যাগুলিকে শূন্য ছাড়া একই সংখ্যা দিয়ে গুণ ও ভাগ করলে অনুপাতের মান একই থাকে কিনা দেখি।

3. দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত রেখে বিভিন্ন মাপের আয়তাকার চিত্র তৈরি করি -

একটি আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের

অনুপাত যদি 5:3 হয়, তবে আয়তক্ষেত্রের

দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কী কী হতে পারে দেখি -

5 সেমি.   10 সেমি.

6 সেমি.

5:3 অনুপাতের 5 পূর্বপদ ও 3 উত্তরপদ।

এই অনুপাতকে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করে পাই $\frac{5}{3}$

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $\frac{5}{3} \rightarrow \frac{10}{6} \rightarrow \frac{15}{9}$

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ $\frac{3}{3} \rightarrow \frac{6}{9} \rightarrow \frac{9}{9}$

অর্থাৎ, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. হলে প্রস্থ 3 সেমি.। দৈর্ঘ্য 10 সেমি. হলে প্রস্থ $\Box$ সেমি.। দৈর্ঘ্য $\Box$ সেমি. হলে প্রস্থ 9 সেমি.। দৈর্ঘ্য $\Box$ সেমি. হলে প্রস্থ $\Box$ সেমি.

অধ্যায় : 2

অনুপাত

4. একটি আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 5:2; দৈর্ঘ্য 20 মিটার হলে জমিটির প্রস্থ কত মিটার হিসাব করি।

জমির দৈর্ঘ্য : জমির প্রস্থ = 5 : 2

জমির দৈর্ঘ্য = 20 মিটার

$\frac{\text{জমির দৈর্ঘ্য}}{\text{জমির প্রস্থ}} = \frac{5}{2} = \frac{20}{\Box}$

অথবা প্রস্থ = 20 মিটার $\times \frac{2}{5}$

$\therefore$ আয়তক্ষেত্রাকার জমির প্রস্থ = $2 \times 4$ মিটার = 8 মিটার

প্রস্থ হলো দৈর্ঘ্যের $\frac{2}{5}$ অংশ

প্রস্থ = $20 \times \frac{2}{5}$ মিটার = 8 মিটার

5. ফরিদের বন্ধু সুহানের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য 15 মিটার। সেই জমিতে বালি ফেলতে হবে 10 কিগ্রা.।

তাহলে আমরা আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্যের সঙ্গে বালির পরিমাণের কী তুলনা করতে পারব?

তাহলে কি আমরা লিখতে পারব না, $\frac{\text{আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য}}{\text{বালির পরিমাণ}} = \frac{15 \text{ মিটার}}{10 \text{ কিগ্রা.}}$

দুটি কি একই জাতীয় রাশি?

যেহেতু দুটিই একই ধরনের (যেমন দৈর্ঘ্য বা ওজন ইত্যাদি) পরিমাপ করা হচ্ছে তাই তারা একই জাতীয় রাশি। তাই অনুপাতে বলতে বুঝি সমজাতীয় রাশির তুলনা। আর যেহেতু সমজাতীয় রাশির তুলনা করতে গিয়ে ভাগ করছি, তাই ভাগ করার সময় কোনো একক থাকছে না। তাই অনুপাতে কোনো একক নেই।

6. ছাদ ঢালাই-এর সময় বালি, সিমেন্ট ও স্টোনচিপ মেশাই, যদি 1 কড়া সিমেন্টের সঙ্গে 5 কড়া বালি ও 2 কড়া স্টোনচিপ মেশানো হয়, তাহলে সিমেন্ট, বালি ও স্টোনচিপের পরিমাণের অনুপাত হবে $\Box : \Box : \Box$। (নিজে করি)

7. আমি বাবার বয়স 48 বছর, মায়ের বয়স 42 বছর, দাদার বয়স 15 বছর এবং আমার বয়স 12 বছর। বাবা, মা, দাদা ও আমার বয়সের অনুপাত 48:42:15:12 অর্থাৎ $\Box : \Box : \Box : \Box$ (নিজে করি)

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 2

কষে দেখি – 2.1

1. 1 কিগ্রা. চালের দাম 40 টাকা ও 1 কিগ্রা. ডালের দাম 100 টাকা। চাল ও ডালের দামের অনুপাত কত হিসাব করি।

2. $\angle BAC : \angle ABC : \angle ACB = \text{কত?}$

B

A       C

$60^\circ$   $70^\circ$

3. 1টি পেনসিলের দাম 3 টাকা ও 1টি লজেন্সের দাম 50 পয়সা। 1টি পেনসিল ও 1টি লজেন্সের দামের অনুপাত হিসাব করে লিখি।

4. একটি আঙুলি, একটি এক টাকা ও একটি দু-টাকার মুদ্রার মূল্যের অনুপাত লিখি।

5. উমার বয়স 12 বছর 6 মাস, রাতুলের বয়স 12 বছর 4 মাস ও নূরজাহানের বয়স 12 বছর হলে, ওদের তিনজনের বয়সের অনুপাত কত লিখি।

6. সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের কোণগুলির অনুপাত কত লিখি।

7. সমবাহু ত্রিভুজের কোণগুলির অনুপাত কত লিখি।

8. পুলকবাবু ও মানিকবাবুর বয়সের অনুপাত 7:9; মানিকবাবুর বয়স 72 বছর হলে, পুলকবাবুর বয়স হিসাব করে দেখি।

9. দুটি বইয়ের দামের অনুপাত 2:5; প্রথম বইটির দাম 32.20 টাকা হলে, দ্বিতীয় বইটির দাম হিসাব করে দেখি।

10. বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত 22:7; যে বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2 মিটার 1 ডেসিমিটার, সেই বৃত্তের পরিধি হিসাব করে দেখি।

11. আমাদের সপ্তম শ্রেণিতে 150 জনের মধ্যে 90 জন ও ষষ্ঠ শ্রেণিতে 140 জনের মধ্যে 80 জন অঙ্কন প্রতিযোগিতায় নাম দিয়েছে। অনুপাত প্রকাশ করে দেখি কোন শ্রেণিতে প্রতিযোগী বেশি।

12. দুটি সংখ্যার অনুপাত 5:7 এবং সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. 13 হলে সংখ্যাদুটি কী কী?

অধ্যায় : 2

অনুপাত

কোন শরবতে বেশি মিষ্টি দেখি

রুমেলার বাড়িতে আজ অনেক বন্ধু এসেছে। রুমেলা ঠিক করেছে আজ বন্ধুদের প্রথমে শরবত দেবে। সে নিজে শরবত তৈরি করবে। তাই সে 10 গ্রাম জলের সঙ্গে 6 গ্রাম সিরাপ মিশিয়ে শরবত তৈরি করল।

এখন শরবতে জল ও সিরাপের পরিমাণের অনুপাত 10:6 = 5:3

এখানে পূর্বপদ $\rightarrow \Box$ , উত্তরপদ $\rightarrow \Box$ ; পূর্বপদ $\Box$ উত্তরপদ $[\ne / = \text{বসিয়ে পাই}]$

**এই অনুপাতকে লঘু অনুপাত বলা হয়।**

যদি পূর্বপদ < উত্তরপদ হয়, তখন সেই অনুপাতকে কী বলব?

**সেই অনুপাতকে লঘু অনুপাত বলা হয়।**

যদি, অনুপাতের পূর্বপদ = উত্তরপদ হয়, তবে সেই অনুপাতকে সমানুপাত বলা হয়।

বন্ধু সুমিতের শরবতে আরও মিষ্টি দরকার। তাই রুমেলা আরও $6 + \frac{1}{2}$ গ্রাম সিরাপ মেশাল। এবার সকলের শরবত পছন্দ হলো।

এখন নতুন শরবতে জল ও সিরাপের পরিমাণের অনুপাত 10:$13 \frac{1}{2}$

= 20:13 (উভয়পদকে 2 দিয়ে গুণ করে, পূর্ণসংখ্যা অনুপাতে নিয়ে গেলাম)

এখানে পূর্বপদ $\Box$ উত্তরপদ $[\ne / = \text{বসিয়ে পাই}]$। তাই এই অনুপাত একটি $\Box$ অনুপাত।

যদি 10 গ্রাম জলে 10 গ্রাম সিরাপ মেশানো হয় তখন জল ও সিরাপের পরিমাণের অনুপাত $\Box$ : $\Box$ = 1:1 হবে।

এখানে পূর্বপদ $\Box$ উত্তরপদ $[\ne / = \text{বসিয়ে পাই}]$।

তাই এই অনুপাত একটি $\Box$ অনুপাত।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 2

নিজে করি – 2.1

1. একটি অনুপাতে লিকার চা ও দুধ মিশিয়ে চা তৈরি করব। কত কাপ লিকার চা ও কত কাপ দুধ নেব দেখি -

• (i) 24 কাপ চায়ের জন্য লিকার চা ও দুধের অনুপাত কত হবে?
• (ii) 15 কাপ চায়ের জন্য কত কাপ দুধ নেব?

2. নীচের ফাঁকা ঘরগুলি পূরণ করি:

নতুন অনুপাত তৈরি করব ও নাম জানব

তিনটি অনুপাত নিলাম - 2:3, 4:5 ও 5:7

অনুপাত তিনটির পূর্বপদ $\Box$, $\Box$ ও $\Box$ এবং তিনটির উত্তরপদ $\Box$, $\Box$ ও $\Box$

যদি, পূর্বপদগুলি গুণ করি তবে পাই, $2 \times 4 \times 5 = 40$

এবং উত্তরপদগুলি গুণ করে পাই, $3 \times 5 \times 7 = 105$

পূর্বপদ 40 এবং উত্তরপদ 105 হলে অনুপাতটি হয়, $40:105 = 8:21$

অধ্যায় : 2

অনুপাত

এমন করে পাওয়া অনুপাতকে মিশ্র অনুপাত বা যৌগিক অনুপাত বলা হয়।

অর্থাৎ দুই বা দুইয়ের বেশি অনুপাতকে থাকলে তাদের পূর্বপদগুলির গুণফল ও উত্তরপদগুলির গুণফলের অনুপাতকে মিশ্র অনুপাত বা যৌগিক অনুপাত বলা হয়।

$\therefore$ $8:21$ হলো $2:3$, $4:5$ ও $5:7$ -এর মিশ্র অনুপাত।

2:5, 7:8 ও 3:4 অনুপাতগুলির মিশ্র অনুপাত কী হবে দেখি

$2 \times 7 \times 3 : 5 \times 8 \times 4$

= 42:160

= 21:80

নিজে করি – 2.2

মিশ্র অনুপাত নির্ণয় করি –

• (1) 5:9, 8:12 ও 7:3
• (2) 1:2, 5:5, 3:5
• (7) $\frac{6}{4} \div \frac{2}{3}, 3 \frac{1}{2} : \frac{2}{5}$ এবং 4:5

এবার অনুপাতের স্থানবিনিময় করিগে কী পাই দেখি

আমার কাছে 12 টাকা 75 পয়সা আছে। আমার ভাইয়ের কাছে 9 টাকা আছে।

আমার ও আমার ভাইয়ের টাকার পরিমাণের অনুপাত 1275 : 900

= 51 : 36

= 17 : 12

$\therefore$ এটা একটি $\Box$ অনুপাত,

এই অনুপাতকে ভগ্নাংশ আকারে পাই $\frac{17}{12}$

$\frac{17}{12}$ -এর অন্যোন্যাক $\frac{12}{17}$

$\therefore \frac{12}{17}$ -কে অনুপাতে লিখলে পাই 12 : 17

12 : 17 অনুপাত ও 17 : 12 অনুপাত দুটির মধ্যে কী সম্পর্ক?

12 : 17 হলো 17 : 12 অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত।

অর্থাৎ কোনো অনুপাতের পূর্বপদ ও উত্তরপদ পরস্পর স্থানবিনিময় করলে সেই অনুপাতটি আগের অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 2

কষে দেখি – 2.2

1. নীচের অনুপাতগুলিকে লঘিষ্ঠ আকারে পরিণত করি ও প্রত্যেকটি অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত লিখি।

• (a) 12 : 15
• (b) 36 : 54
• (c) 75 : 120
• (d) 169 : 221
• (e) 9xy : 12xy
• (f) 429 : 663
• (g) 3b : 12c
• (h) 25xyz : 625xyz

(যেখানে a, b, x, y, z শূন্য নয়)

2. নীচের অনুপাতগুলিকে পূর্ণসংখ্যার অনুপাতে পরিণত করি ও তার ব্যস্ত অনুপাত লিখি।

• (a) 2.5 : 12.5
• (b) $\frac{5}{8} : \frac{7}{16}$
• (c) 0.7 : 0.49
• (d) $\frac{2}{3} : \frac{3}{4}$
• (e) $2 \frac{2}{5} : 4 \frac{2}{7}$
• (f) $\frac{7}{15} : \frac{3}{20}$
• (g) $1 \frac{1}{2} : \frac{5}{7}$
• (h) 4.4 : 5.61

3. নীচের অনুপাতগুলির মিশ্র অনুপাত নির্ণয় করি এবং মিশ্র অনুপাতটি গুরু অনুপাত, লঘু অনুপাত না সামান্য অনুপাত লিখি।

• (a) 8 : 6, 3 : 6 ও 26 : 13
• (b) $\frac{5}{2} : \frac{7}{11}, 3 \frac{1}{2} : \frac{1}{6}$ ও 3 : 16
• (c) 8 : 5, 7 : 12 ও 22 : 13
• (d) $\frac{2}{3}, \frac{5}{7}, \frac{7}{2}$

4. রীতা 100টি অঙ্কের মধ্যে 60টি সঠিক করেছে। বিনয়ও 80টি অঙ্কের মধ্যে 50টি সঠিক করেছে। অনুপাতে প্রকাশ করে দেখি কে অঙ্ক ঠিক করেছে।

5. এবছরে মাধ্যমিক পরীক্ষায় আমাদের বিদ্যালয়ে 150জন পরীক্ষার্থীর মধ্যে 100জন গ্রেড-A পেয়েছে। পাশের বিদ্যালয়ে 80 জন পরীক্ষার্থীর মধ্যে 80 জন গ্রেড-A পেয়েছে। A গ্রেড-A পেয়ে উত্তীর্ণ হয়েছে। এবার মাধ্যমিক কোন্ বিদ্যালয়ে গ্রেড-A পেতে ভালো ফল করেছে তা অনুপাতে প্রকাশ করে বের করি।

6. দুটি বাড়ির দামের অনুপাত 4:3 এবং দ্বিতীয়টির দাম 4,20,000 টাকা। প্রথম বাড়িটির দাম কত হিসাব করব দেখি।

7. একটি বাঁশের ঠিকাম থেকে এক টুকরো বাঁশ কেটে নেওয়া হলো এবং দেখা গেল দুটি অংশের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3 : 1। নীচের সারণী থেকে টুকরো দুটির দৈর্ঘ্য কী কী হতে পারে এবং বাঁশটির দৈর্ঘ্য কী হতে পারে লিখি।

অধ্যায় : 2

অনুপাত

কত ভাগে মেশানো হলো দেখি

ধান চাষের জন্য জৈব সার তৈরি করা হচ্ছে। 18 বস্তা গোবরের সঙ্গে 4 বস্তা সবজিজ খোসা মেশানো হচ্ছে।

মোট $(18 + 4)$ বস্তা = 22 বস্তা জৈব সার তৈরি করা হলো।

তাই 22 বস্তা জৈব সারে 18 বস্তা গোবর আছে। অর্থাৎ 22 বস্তা জৈব সারে গোবরের পরিমাণ মোট সারের $\frac{18}{22}$ অংশ। আবার 22 বস্তা জৈব সারে সবজিজ খোসা আছে 4 বস্তা। অর্থাৎ 22 বস্তা জৈব সারে সবজিজ খোসার পরিমাণ মোট সারের $\frac{4}{22}$ অংশ।

এইরকম মিশ্রণে তার উপাদানগুলির আনুপাতিক অংশ বা ভাগ নির্ণয় করাকে কী বলব?

একে আনুপাতিক ভাগ হার বলা হয়।

8. 360 টাকা শিবু, কাকলি ও আমিনের মধ্যে এমনভাবে ভাগ করে দিই যেন তাদের প্রাপ্ত অর্থের অনুপাত $2:3:7$ হয়। কে কত টাকা পেল দেখি।

শিবুর অংশ : কাকলির অংশ : আমিনের অংশ = $2:3:7$

শিবুর প্রাপ্ত অর্থের আনুপাতিক ভাগ হার = $\frac{2}{2+3+7} = \frac{2}{12}$

কাকলির প্রাপ্ত অর্থের আনুপাতিক ভাগ হার = $\frac{3}{2+3+7} = \frac{3}{12}$

আমিনের প্রাপ্ত অর্থের আনুপাতিক ভাগ হার = $\frac{7}{2+3+7} = \frac{7}{12}$

মোট অর্থ = 360 টাকা

$\therefore$ শিবু পায় $360 \text{ টাকা} \times \frac{2}{12} = 60 \text{ টাকা}$

কাকলি পায় $360 \text{ টাকা} \times \frac{3}{12} = 90 \text{ টাকা}$

আমিন পায় $360 \text{ টাকা} \times \frac{7}{12} = 210 \text{ টাকা}$

9. সুচিত্রার ক্লাসে ছাত্র ও ছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত $4:3$; ক্লাসে মোট ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা 63 জন হলে ক্লাসে কতজন ছাত্র ও কতজন ছাত্রী আছে হিসাব করি। কিছুদিন পরে আরও 3 জন ছাত্রী হলো। এখন সুচিত্রার ক্লাসে ছাত্র ও ছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত কত হলো হিসাব করি।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 2

সুচিত্রার ক্লাসে ছাত্র ও ছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত $4:3$

$\therefore$ ছাত্রসংখ্যার আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{4}{4+3} = \frac{4}{7}$

ছাত্রীসংখ্যার আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{3}{4+3} = \frac{3}{7}$

$\therefore$ 63 জনের মধ্যে ছাত্র আছে $\Box \text{ জন} \times \Box = \Box \text{ জন}$

এবং 63 জনের মধ্যে ছাত্রী আছে $\Box \text{ জন} \times \Box = \Box \text{ জন}$।

আরও 3 জন ছাত্রী এল। এখন মোট ছাত্রীসংখ্যা = $(\Box + 3) \text{ জন} = \Box \text{ জন}$

$\therefore$ 3 জন ছাত্রী ভর্তি হওয়ায়, ছাত্রসংখ্যা : ছাত্রীসংখ্যা = $36 : 30 = 6 : 5$

কষে দেখি – 2.3

1. গত বছরে রসকুণ্ড গ্রামে স্বাক্ষর ও অক্ষর পরিচয়হীন লোকের সংখ্যার অনুপাত ছিল 4 : 11। গ্রামের মোট জনসংখ্যা 6550 জন হলে স্বাক্ষর ও অক্ষর পরিচয়হীন লোকের সংখ্যা কত ছিল দেখি।

2. 640 টাকা বিষ্ণু ও অপর্ণার মধ্যে 5 : 3 অনুপাতে ভাগ করে দিই। কাকে কত টাকা হিসাব করব করি।

3. এক বিশেষ প্রকার ইস্পাতে লোহা ও কার্বনের অনুপাত 49 : 1, হলে, হিসাব করে দেখি 980 কিউবটেল ইস্পাতে কত কিউবটেল লোহা আছে।

4. কোনো বিদ্যালয়ে 143 জন ছাত্রীর মধ্যে শুধুমাত্র গান করতে পারে ও নাচ করতে পারে ছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত 9 : 2। যদি আরও 3 জন ছাত্রী গান করতে আসে, তবে গান করতে পারে ও নাচ করতে পারে ছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত 10 : 2 হবে। হিসাব করে দেখি।

5. 240 মিলিলি. ডেটল-জলে জল ও ডেটলের আয়তনের অনুপাত 1 : 3 ; এর সঙ্গে আরও 60 মিলিলি. জল মেশালে জল ও ডেটলের আয়তনের অনুপাত কত হবে হিসাব করি।

6. এক ব্যক্তির মাসিক আয় 24,750 টাকা। তিনি 750 টাকা বাড়ি ভাড়া দেন এবং বাকি টাকা 3 : 1 অনুপাতে সংসার খরচ ও ছেলেমেয়েদের শিক্ষার জন্য খরচ করেন। তিনি কত টাকা সংসার খরচ করেন দেখি।

অধ্যায় : 2

অনুপাত

7. বিবেকানন্দ যুব পাঠাগার কোনো এক বছর 74,350 টাকা সরকারি অনুদান পেল, 4,350 টাকা চাঁদা আদায় করল এবং পুরোনো কাগজপত্র ইত্যাদি বিক্রি করে পেল 1,300 টাকা। যদি সব টাকাই নতুন বই কিনতে, পুরোনো বই বাঁধাতে এবং পাঠাগারের কর্মচারীদের বেতন দিতে 15 : 3 : 2 অনুপাতে খরচ করা হয়, তবে হিসাব করে দেখি কত টাকার নতুন বই কেনা হয়েছিল।

8. কোনো এক ট্রেন স্টেশনে 1050 জন ব্যক্তি ট্রেন থেকে নামলেন। তাদের তিনটি বগিতে হলহারে 11 : 3 : 1 অনুপাতে বসতে দেওয়া হয়েছে। প্রতি হলহারে কতজন বসলেন হিসাব করি।

9. 12,100 টাকা মধু, মানস, কস্তূরী ও ইভার মধ্যে 2 : 3 : 4 : 2 অনুপাতে ভাগ করে দিলে কে কত টাকা পাবে হিসাব করে দেখি।

10. ABC ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি $180^\circ$; $\angle BAC, \angle ABC \text{ ও } \angle ACB$-এর অনুপাত 3 : 5 : 10; যদি $\angle BAC$-এর মান $10^\circ$ কম এবং $\angle ABC$-এর মান $10^\circ$ বেশি হয়, কোণ তিনটি কত হবে হিসাব করি।

11. 9,000 টাকা তিন বন্ধুর মধ্যে এমনভাবে ভাগ করে দিই যেন প্রথম বন্ধু যা পায়, দ্বিতীয় বন্ধু তার দ্বিগুণ পায় এবং তৃতীয় বন্ধু প্রথম দুই বন্ধুর প্রাপ্য মোট টাকার অর্ধেক পায়। কে কত টাকা পায় হিসাব করি।

(প্রথম বন্ধু 1 টাকা পেল, দ্বিতীয় বন্ধু 2 টাকা, তৃতীয় বন্ধু পাবে $1+2 = 3$ টাকা

অর্থাৎ প্রথম বন্ধুর প্রাপ্য টাকা : দ্বিতীয় বন্ধুর প্রাপ্য টাকা : তৃতীয় বন্ধুর প্রাপ্য টাকা

$= 1 : 2 : 3$

$= 2 : 4 : 3$

12. আমাদের গ্রামের রাস্তা তৈরির জন্য পরপর চার বছরের খরচের অনুপাত ছিল $2:4:3:2$ হয় এবং ওই চার বছরে যদি 132 লক্ষ টাকা খরচ হয়, তবে হিসাব করে দেখি দ্বিতীয় বছরে কত টাকা খরচ হয়েছে। প্রথম ও দ্বিতীয় বছরে মোট কত টাকা খরচ হয়েছে।

13. বিনয়বাবু তাঁর অবসর গ্রহণের সময়ে এককালীন 1, 96, 150 টাকা পেলেন। তিনি 20,000 টাকা বিদ্যালয়ের গ্রন্থাগারে দান করলেন এবং বাকি টাকা তিনি তাঁর স্ত্রী, পুত্র ও কন্যার মধ্যে 5 : 4 : 4 অনুপাতে ভাগ করে দিলেন। হিসাব করে দেখি তিনি কাকে কত টাকা দিলেন।

14. আমিনুরচা 35 কাঠা জমিতে 4:3 অনুপাতে বেগুন ও পটল চাষ করেছেন। প্রতি কাঠায় বেগুন থেকে 150 টাকা ও প্রতি কাঠায় পটল থেকে 125 টাকা লাভ করেছেন। আমিনুরচা মোট জমি থেকে বেগুন ও পটল চাষ করে লাভের পরিমাণের অনুপাত হিসাব করি।

অধ্যায় : 3

সমানুপাত

সফিকের কাছে 24 টি কুল আছে। মানুর কাছে 18 টি জাম আছে। সফি 4 টি কুল মানুকে দিল। কিন্তু মানু 3 টি জাম সফিকে দিল।

আমি বেশি সংখ্যক কুল দিলাম, কিন্তু কম সংখ্যক জাম পেলাম।

আমরা কীভাবে ভাগ করলাম দেখি।

সফিকের মোট কুলের সংখ্যা : দেওয়া কুলের সংখ্যা = 24 : 4

= 6 : 1

মানুর মোট জামের সংখ্যা : দেওয়া জামের সংখ্যা = $\Box$ : $\Box$

= 6 : 1

এবার বুঝলাম উভয়ক্ষেত্রের অনুপাত একই।

আজ মানু 4 টি পেন কিনল 28 টাকায়। সফি 12 টি পেন কিনল। কিন্তু সফিকে 84 টাকা দিতে হলো। কার পেনের দাম বেশি হিসাব করি।

গণিতের ভাষায় লিখি,

আমাদের পেনের সংখ্যার অনুপাত = 4:12 = $\Box : \Box$

অর্থাৎ মানুর পেনের সংখ্যা : সফিকের পেনের সংখ্যা = 1 : 3

কিন্তু মানুর পেনের দাম : সফিকের পেনের দাম = 28 : 84 = $\Box : \Box$

দুটি অনুপাতই $\Box$ অর্থাৎ দুজনের পেনের দাম সমান।

যেখানে 4 : 12 এবং 28 : 84 সমান। তাই 4, 12, 28 ও 84 $\Box$ আছে।

লিখব 4 : 12 :: 28 : 84

যেখানে 4, 12, 28, 84 সমানুপাতে আছে। তাই এই পদগুলি 4 টি সমানুপাতী পদ।

এখানে 4 হলো $\Box$ পদ, 12 $\Box$ পদ, 28 $\Box$ পদ ও 84 $\Box$ পদ।

অধ্যায় : 3

সমানুপাত

4 ও 84 -এর অন্য নাম আছে। $\Box$ পদ বলা হয় 12 ও 28 -কে $\Box$ পদ বলে।

4 : 12 :: 28 : 84 -এই সমানুপাতটির চারটি পদের

প্রথম পদ $\times$ $\Box$ = দ্বিতীয় পদ $\times$ $\Box$ পদ

1. আজ আমার বাবা সকালে 5 কিগ্রা. চাল 255 টাকায় কিনে এনেছেন। কিন্তু আমার কাকা 410 টাকায় 10 কিগ্রা. চাল কিনলেন। দুজনের একই দামের চাল কিনেছেন কিনা হিসাব করে দেখি।

বাবার কেনা চালের পরিমাণ : কাকার কেনা চালের পরিমাণ = 5 : 10 = $\Box : \Box$

বাবার কেনা চালের দাম : কাকার কেনা চালের দাম = 255 : 410 = 51 : 82

দেখছি অনুপাত দুটি সমান নয় অর্থাৎ চাল দুটি সমানুপাতে নেই। তাই বাবা ও কাকার কেনা চালের দাম আলাদা।

2. 6 সেমি. ও 8 সেমি. লম্বা দুটি লাঠির ছায়ার দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 সেমি. ও 20 সেমি.। লাঠির দৈর্ঘ্যের সাথে ছায়ার দৈর্ঘ্যের অনুপাত সমান কিনা দেখি।

8 সেমি.   6 সেমি.

15 সেমি.   20 সেমি.

দুটি লাঠির দৈর্ঘ্যের অনুপাত = 6 : 8

= 3 : 4

লাঠি দুটির ছায়ার দৈর্ঘ্যের অনুপাত = 15 : 20

= 3 : 4

$\therefore$ দুটি অনুপাত সমান অর্থাৎ লাঠির দৈর্ঘ্য ও তার ছায়ার দৈর্ঘ্য $\Box$ আছে।

কষে দেখি-3.1

1. নীচের অনুপাতগুলি সমান কিনা দেখি ও চারটি সংখ্যা সমানুপাতী কিনা লিখি:

• (a) 7 : 2 এবং 28 : 8, (b) 9 : 7 এবং 18 : 14, (c) 1.5 : 3 এবং 4.5 : 9,
• (d) 7 : 3 এবং 5 : 2, (e) 3ab : 4ac এবং 6b : 8c, (f) 5.2 : 6.5 এবং 4 : 5,
• (g) 3y : 7y এবং 12p : 28p, (h) 5pq : 7pr এবং 15s : 21q [যেখানে a, q, y, p, r শূন্য নয়]

2. একটি আয়তাকার চিত্রের দৈর্ঘ্য 10 সেমি. এবং প্রস্থ 6 সেমি.। চিত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ 2 সেমি. বাড়ানো হলো। আয়তাকার চিত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ একই অনুপাতে থাকবে কিনা দেখি।

3. পরাশবাবু 500 গ্রাম চিনি 17.50 টাকায় কিনলেন এবং দীপেনবাবু 2 কিগ্রা. চিনি 70 টাকায় কিনলেন। চিনির পরিমাণ ও দাম সমানুপাতে আছে কিনা হিসাব করে দেখি।

4. ফাঁকা ঘর পূরণ করি:

• (i) 5 : 7 :: $\Box$ : 25
• (ii) 6 : 7 :: $\Box$ : 35
• (iii) 21 : 28 :: 3 : $\Box$
• (iv) 9 : 24 :: $\Box$ : $\Box$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 3

চারটি সংখ্যা সমানুপাতে আছে কিনা দেখি

3. 5, 7, 10 ও 14 নিয়ে দেখি চারটি সংখ্যা সমানুপাতে আছে কিনা দেখি -

এখানে প্রান্তপদদ্বয়ের গুণফল = $5 \times 14 = 70$

মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল = $7 \times 10 = 70$

$\therefore 5 : 7 :: 10 : 14$   প্রান্তপদদ্বয়ের গুণফল = মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল

সুতরাং সংখ্যা চারটি সমানুপাতে আছে।

4. 5, 10, 7 ও 14 সমানুপাতে আছে কিনা দেখি-

5 : 10 = 1 : 2   এখানে প্রান্তপদদ্বয়ের গুণফল = $5 \times \Box = \Box$

7 : 14 = 1 : 2   মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল = $10 \times \Box = \Box$

$\therefore 5 : 10 :: 7 : 14$   প্রান্তপদদ্বয়ের গুণফল $\ne$ মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল

সুতরাং সংখ্যা চারটি সমানুপাতে নেই।

5. 7, 5, 14 ও 10 সমানুপাতে আছে কিনা দেখি-

এখানে প্রান্তপদদ্বয়ের গুণফল = $7 \times 10 = 70$

মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল = $5 \times 14 = 70$

$\therefore 7 : 5 :: 14 : 10$   প্রান্তপদদ্বয়ের গুণফল = মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল।

সুতরাং, সংখ্যা চারটি সমানুপাতে আছে।

6. 10, 5, 14 ও 7 সমানুপাতে আছে কিনা দেখি-

$10:5 = 2:1$, $14:7 = 2:1$, $\therefore 10 : 5 :: 14 : 7$

$\therefore$ চারটি সংখ্যা সমানুপাতে থাকবে, যদি প্রান্তপদদ্বয়ের গুণফল = মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল হয়।

অর্থাৎ প্রথম পদ $\times$ চতুর্থ পদ = দ্বিতীয় পদ $\times$ তৃতীয় পদ

নিজে করি – 3.2

1. নিজেরা যাচাই করি, 7, 5, 14 ও 10 সমানুপাতে আছে কিনা।

2. নিজেরা যাচাই করি, 10, 5, 14 ও 7 সমানুপাতে আছে কিনা।

3. নিজেরা যাচাই করি, 14, 5, 10 ও 7 সমানুপাতে আছে কিনা।

অধ্যায় : 3

সমানুপাত

সংখ্যা দিয়ে সমানুপাত তৈরি করি

6. 2, 3, 4 ও 6 দিয়ে নানারকম সমানুপাত তৈরি করি।

7. উপরের মতো ছক করতে 5, 15, 10 ও 30 দিয়ে নানারকম সমানুপাত তৈরি করি। [নিজে করি]

8. 7, 8, 14 ও 16 নানারকম সমানুপাত তৈরি করি। [নিজে করি]

9. 9, 11, 27 ও 33 দিয়ে নানারকম সমানুপাত তৈরি করি। [নিজে করি]

অনানুবাদে দেখি, চারটি বীজগাণিতিক সংখ্যা সমানুপাতী হলে তাদের মধ্যে কী সম্পর্ক পাই

i) a, b, c ও d - এই চারটি অনির্দিষ্ট বীজগাণিতিক সংখ্যা (যাদের মান শূন্য নয়) সমানুপাতী হলে

a : b :: c : d হয় অর্থাৎ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

দুদিককে $b \times d$ গুণ করে পাই, $ad = bc$ হয়।

অর্থাৎ প্রথমপদ $\times$ চতুর্থপদ = দ্বিতীয়পদ $\times$ তৃতীয়পদ

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 3

ii) $ad = bc$   বা $\frac{ad}{ac} = \frac{bc}{ac}$ [উভয়পক্ষকে $ac$ দ্বারা ভাগ করে]

বা $\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$

$\therefore b : a :: d : c$

অর্থাৎ $a : b :: c : d$ এর ব্যস্ত অনুপাত হল $b : a :: d : c$

iii) $ad = bc$   বা $\frac{ad}{cd} = \frac{bc}{cd}$ [উভয়পক্ষকে $cd$ দ্বারা ভাগ করে]

$\therefore a : c :: b : d$

চারটি সংখ্যা সমানুপাতে থাকলে চারটি আলাদা সমানুপাত তৈরি করতে পারবো।

যদি a, b, c, d চারটি অনির্দিষ্ট বীজগাণিতিক সমানুপাতী সংখ্যার (যাদের মান শূন্য নয়) সমানুপাতী হলে

$\therefore a : b :: c : d$

অর্থাৎ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

আবার, $ad=bc$ হলে [উভয়দিককে $d$ গুণ করে পাই]

$d : b = a : c$ অর্থাৎ $\frac{d}{b} = \frac{a}{c}$

আবার, $ad = b^2$ হলে [উভয়দিককে $b \times a$ গুণ করে পাই]

এই ধরনের অনুপাতকে কী বলব?

এই ধরনের অনুপাতকে ক্রমিক সমানুপাত বলা হয়।

10. 3, 6 ও 12 – ক্রমিক সমানুপাতে আছে কী বুঝি দেখি।

3 : 6 :: 6 : 12

এখানে প্রথম পদ 3, দ্বিতীয় পদ 6 ও তৃতীয় পদ 12

তাই ক্রমিক সমানুপাতে পেলাম, প্রথম পদ $\times$ তৃতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ $\times$ দ্বিতীয় পদ

যেমন, 2টি কলমের দাম 30 টাকা হলে 10টি কলমের দাম 300 টাকা।

কলমের সংখ্যার অনুপাত 3 : 10 = 3 : 10

কলমের দামের অনুপাত 30 : 300 = 1 : 10

সুতরাং, 3 : 30 :: 30 : 300

অর্থাৎ, 3, 30, 300 ক্রমিক সমানুপাতী।

অধ্যায় : 3

সমানুপাত

a, b, c তিনটি অনির্দিষ্ট বীজগাণিতিক সংখ্যা (যাদের মান শূন্য নয়) ক্রমিক সমানুপাতী হলে তিনটি সংখ্যার মধ্যে কী সম্পর্ক পাই দেখি -

a, b, c ক্রমিক সমানুপাতে আছে।

$\therefore a : b :: b : c$

$\therefore a \times c = b \times b$

$[ac = b^2]$

পেলাম, প্রথমপদ $\times$ তৃতীয় পদ = মধ্যপদের বর্গ বা $(\text{মধ্যপদ})^2$

11. 2, 4 ও 8 ক্রমিক সমানুপাতে আছে কিনা দেখি -

$2 \times 8 = (4)^2$

অর্থাৎ, প্রথম পদ $\times$ তৃতীয় পদ = $(\text{মধ্যপদ})^2$

$\therefore 2, 4, 8$ ক্রমিক সমানুপাতে আছে।

12. 2, 6 ও 12 ক্রমিক সমানুপাতী কিনা দেখি -

$2 \times 12 = \Box$

$6 \times \Box = \Box$

যেহেতু প্রথম পদ $\times$ তৃতীয় পদ $\ne$ $\Box$

$\therefore 2, 6$ ও 12 ক্রমিক সমানুপাতে নেই।

নিজে করি-3.3

নীচের সংখ্যাগুলি ক্রমিক সমানুপাতে আছে কিনা দেখি এবং সমানুপাতটি লিখি :

• (i) 5, 10, 20
• (ii) 8, 4, 2
• (iii) 7, 14, 28
• (iv) 81, 9, 1
• (v) 4, 6, 12
• (vi) 4, 10, 25

সমানুপাতে থাকা সংখ্যাগুলির মধ্যে না থাকা চতুর্থ পদটি জানবার চেষ্টা করি

13. চারটি সমানুপাতী সংখ্যার তিনটি পদ দেওয়া থাকলে চতুর্থ পদটি জানবার চেষ্টা করি।

প্রথম পদ 3, দ্বিতীয় পদ 6, তৃতীয় পদ 7 হলে চতুর্থ পদটি জানার চেষ্টা করি।

3 : 6 :: 7 : চতুর্থ পদ

$\frac{3}{6} = \frac{7}{\text{চতুর্থ পদ}}$

লিখতে পারি, $\frac{1}{2} = \frac{7}{\Box}$

$\therefore$ চতুর্থ পদ = 14

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 3

14. 8, 30, 20 - সংখ্যা চারটি যদি সমানুপাতে থাকে, প্রথম পদ কী হবে হিসাব করি।

প্রথম পদ : 8 :: 30 : 20

প্রথম পদ = $\frac{30 \times 8}{20} = \frac{240}{20} = 12$

প্রথম পদ = 12

15. যদি কোনো সমানুপাতে তৃতীয় পদ না থাকে অর্থাৎ $5 : 8 :: \Box : 64$ হয়, তাহলে এই সমানুপাতে $\Box$ (না থাকা সংখ্যা) অর্থাৎ চতুর্থ পদটি কী হবে হিসাব করে লেখার চেষ্টা করি।

$5 : 8 :: \Box : 64$

লিখতে পারি, $\frac{5}{8} = \frac{\Box}{64}$

$\therefore$ ভগ্নাংশের সমতুল্যতা থেকে পাই, $\Box = 40$

তৃতীয় পদ = 40

আমাদের সংখ্যা নিয়ে মজার খেলায় মুসকুন একটা মজার জিনিস করল।

আমি দুটি সংখ্যা দেবো। অন্য সংখ্যা খুঁজে ক্রমিক সমানুপাতি তৈরি করার চেষ্টা করি।

17. 9, 6 ও তৃতীয় পদ ক্রমিক সমানুপাতী হবে।

9, 6 ও তৃতীয় পদ ক্রমিক সমানুপাতে আছে। $\therefore 9 : 6 :: 6 : \text{তৃতীয় পদ}$

প্রান্তপদদ্বয়ের গুণফল = মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল

$9 \times \text{তৃতীয় পদ} = 6 \times 6$

সুতরাং, তৃতীয় পদ = $\frac{36}{9} = 4$

অধ্যায় : 3

সমানুপাত

এবার 8, $\Box$, 18 ক্রমিক সমানুপাতে আছে।

$\Box$ (না থাকা সংখ্যা) ধনাত্মক পদটি অর্থাৎ মধ্যপদটি খোঁজার চেষ্টা করি

যেহেতু 8, $\Box$ ও 18 ক্রমিক সমানুপাতে আছে, তাই $(\text{মধ্যপদ})^2 = 8 \times 18 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$

$\therefore$ মধ্যপদ = $2 \times 2 \times 3 = 12$

$\therefore$ মধ্যপদটি হলো 12

12 কে 8 ও 18-র মধ্যসমানুপাতী বলা হয়।

নিজে করি – 3.4

18. 6 কিগ্রা. ডালের দাম 240 টাকা। 30 কিগ্রা. ডাল 1,200 টাকায় পাওয়া যাবে।

ডালের পরিমাণ ও দামের মধ্যে সম্পর্ক খুঁজি।

ডালের পরিমাণ বাড়লে দামও $\Box$

আবার ডালের পরিমাণ কমলে দামও $\Box$

ডালের পরিমাণের অনুপাত 6 : 30 = 1 : 5

ডালের দামের অনুপাত 240 : 1200 = 1 : 5

ডালের পরিমাণ ও দাম দুটি রাশির একইরকম বৃদ্ধি বা হ্রাস (অর্থাৎ পরিমাণ বাড়লে দাম বাড়ে বা পরিমাণ কমলে দাম কমে) যে সমানুপাত তৈরি হয়েছে সেটি সরল সমানুপাত। অর্থাৎ ডালের পরিমাণ ও ডালের দাম সরল সমানুপাতে আছে।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 3

19. 15 মিটার কাপড় 3 টি ফ্রক তৈরি হলে 2 টি ফ্রক তৈরি করতে কত মিটার কাপড় লাগবে হিসাব করি।

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো -

ফ্রকের সংখ্যা বাড়লে কাপড়ের পরিমাণ $\Box$। আবার ফ্রকের সংখ্যা কমলে কাপড়ের পরিমাণ $\Box$।

ফ্রকের সংখ্যা সঙ্গে কাপড়ের পরিমাণ সরল সমানুপাতে আছে।

$\therefore$ $5 : 2 :: 15 : \Box$

সুতরাং, $5 \times \text{চতুর্থ পদ} = 2 \times 15$

চতুর্থ পদ = $\frac{2 \times 15}{5} = 6$

$\therefore$ 2টি ফ্রক তৈরি করতে 6 মিটার কাপড় দরকার।

নিজে করি – 3.5

1. সুমিতি 2টি খাতা 14 টাকায় কিনেছে। 7টি খাতা সে কত টাকায় কিনবে হিসাব করি।

2. একটি জিপগাড়ি 320 কিমি. দূরত্ব যায় 8 ঘণ্টায়। সমবেগে চললে ওই জিপগাড়িটি 120 কিমি. দূরত্ব কত ঘণ্টায় যাবে হিসাব করি।

3. 6 কিগ্রা. স্টেনলেস স্টিল তৈরি করতে 720 গ্রাম ক্রোমিয়াম লাগে। হিসাব করে দেখি 11 কিগ্রা. স্টেনলেস স্টিল তৈরি করতে কত কিগ্রা. লোহা আছে।

4. 10 লিটার শরবতে 3 লিটার সিরাপ আছে। হিসাব করে দেখি এরকম 5 লিটার শরবত তৈরি করতে কত লিটার সিরাপ লাগবে।

5. আমি নিজে একটি সরল সমানুপাতের বাস্তব সমস্যা তৈরি করি ও সমাধান করি।

সমানুপাতে অন্যরকম সম্পর্ক খুঁজি:

আজ আমরা 4 বন্ধু মিলে সারাদিন আমাদের শ্রেণিকক্ষ রঙীন কাগজ দিয়ে সাজাব। আমাদের এই কাজ শেষ করতে 6 ঘণ্টা সময় লাগবে। আরও 2 জন বন্ধু আমাদের সঙ্গে এই কাজে যোগ দিল। এখন এই কাজ শেষ করতে আমাদের 6 ঘণ্টা $\Box$ (কম/বেশি) সময় লাগবে।

কারাগার নির্দিষ্ট কাজ শেষ করতে কাজের লোক বাড়ালে সময় কম লাগে। আবার কাজের লোক কমলে সময় $\Box$। এখন এই কাজটি শেষ করতে 4 ঘণ্টা সময় লাগল।

গণিতের ভাষায় লিখি -

তাই দেখছি লোকসংখ্যার অনুপাত 4 : 6 এবং সময়ের অনুপাত 6 : 4। দুটি অনুপাত পরস্পর ব্যস্ত অনুপাত। তাই ওই দুটি অনুপাত নিয়ে সমানুপাত গঠন ও অপরিহার্য কাজ শেষ করতে একটি অনুপাত ও অপরের ব্যস্ত অনুপাত নিতে হবে।

একদম পরস্পর সম্পর্কযুক্ত দুটি রাশির একটির অনুপাত যদি অপরটির ব্যস্ত অনুপাতের সঙ্গে সমান হয়, তবে তারা ব্যস্ত সমানুপাত গঠন করে। অর্থাৎ লোকসংখ্যা ও সময়ের পরিমাণ ব্যস্ত সমানুপাতে আছে।

অধ্যায় : 3

সমানুপাত

20. একটি বাড়ি রঙ করতে 22 জন শ্রমিকের 10 দিন সময় লাগে। কিন্তু 11 জন শ্রমিক ওই বাড়িটি কতদিনে রঙ করবে হিসাব করি।

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো,

শ্রমিকসংখ্যা বাড়লে কাজের সময় $\Box$ লাগে। শ্রমিকসংখ্যা কমলে কাজের সময় $\Box$ লাগবে।

শ্রমিকসংখ্যা ও দিনসংখ্যা ব্যস্ত সমানুপাতে আছে।

সমানুপাতে, প্রথম সম্পর্ককে ব্যস্ত অনুপাত দিয়ে পাই

22 : 11 :: 10 : $\Box$

প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল

তাহলে, $11 \times \text{চতুর্থ পদ} = 22 \times 10$

চতুর্থ পদ = $\frac{22 \times 10}{11} = 20$

$\therefore$ 11 জন শ্রমিকের 20 দিন সময় লাগবে।

কষে দেখি – 3

1. ছক পূরণ করি-

2. 8 জন লোক একটি কাজ 15 দিনে করতে পারে। হিসাব করে দেখি 10 জন লোক ওই কাজটি কত দিনে করতে পারবে।

3. কিছু পরিমাণ খাদ্য 12 জন লোকের 20 দিন চলে। হিসাব করে দেখি 40 জন লোকের কতদিন চলবে।

4. অনুরাধা বাবু কুঁড়িমিতিতে 16 টি লাড্ডু দিয়ে 10 দিন সব জমি চাষ করিয়াছেন। ওই সব জমি 8 দিনে চাষ করতে চাইলে, কতগুলি লাড্ডু দরকার হিসাব করে লিখি।

অধ্যায় : 3

সমানুপাত

5. একটি বনাট্রাণ শিবিরে 4,000 জনের 190 দিনের খাবার মজুত আছে। 30 দিন পর 800 জন অন্যত্র চলে গেলেন। যারা রয়ে গেলেন অবশিষ্ট খাদ্য তাদের আর কতদিন চলবে হিসাব করি।

6. 3টি ছাতা বা 1টি চেয়ারের দাম 600 টাকা। 2টি ছাতা ও 2টি চেয়ারের দাম কত হিসাব করে দেখি।

7. আমার শ্রেণিতে আজকে আমাদের উপস্থিত ও অনুপস্থিতির অনুপাত নির্ণয় করি। আজ ষষ্ঠ শ্রেণিরও উপস্থিত ও অনুপস্থিতির অনুপাত বের করি। দুটি অনুপাত সমান কিনা দেখি। চারটি সংখ্যা সমানুপাতে আছে কিনা দেখি।

8. বিভিন্ন রঙের ঘরের সংখ্যা গুণি ও নীচের প্রশ্নের উত্তর দিই :

• (a) লাল ও নীল রঙের ঘরের সংখ্যার অনুপাত কত?
• (b) বাদামি ও বেগুনি রঙের ঘরের সংখ্যার অনুপাত কত?
• (c) লাল ও সবুজ রঙের ঘরের সংখ্যার অনুপাত কত?
• (d) বাদামি ও হলুদ রঙের ঘরের সংখ্যার অনুপাত কত?
• (e) কোন চারটি রঙের ঘরের সংখ্যা সমানুপাতে আছে?

9. দুটি শরবতে সিরাপ ও জলের অনুপাত 2 : 5 ও 6 : 10; কোনটি বেশি মিষ্টি দেখি।

10. জল জমে বরফ হলে আয়তন 10 % বাড়ে। কিছু পরিমাণ জল ও তা থেকে বরফের আয়তনের অনুপাত কত লিখি।

11. আমার বয়স 12 বছর ও আমার বাবার বয়স 42 বছর। দু’জনের বয়সের অনুপাত কত দেখি।

অধ্যায় : 3

সমানুপাত

12. প্রিয়তমের গল্পের বই ও পড়ার বইয়ের সংখ্যার অনুপাত 2 : 5 ; প্রিয়তমের গল্পের বই 4টি হলে পড়ার বই কতগুলি আছে হিসাব করি।

13. মালা গাঁথার জন্য জবা ও গাঁদা ফুল মিলিয়ে মোট 105টি ফুল তোলা হয়েছে। জবা ও গাঁদা ফুলের সংখ্যার অনুপাত 3 : 4 ; কতগুলি জবা ফুল ও কতগুলি গাঁদা ফুল আছে হিসাব করি। আর কতগুলি জবা ফুল দিলে দু-রকম ফুলের সংখ্যার অনুপাত সমান হবে দেখি?

14. নীচের ঘরে ইচ্ছামতো পাঁচটি ধরনের রঙ করি। পাঁচটি ধরনের রঙ থেকে দু-ধরনের রঙের ঘর সংখ্যার অনুপাত লিখি। ওই অনুপাতগুলির কোন্গুলি গুরু অনুপাত, কোন্গুলি লঘু অনুপাত ও কোন্গুলি সামান্য অনুপাত লিখি। ওই অনুপাত থেকে যদি চার ধরনের রঙ করা ঘরের সংখ্যা সমানুপাতে থাকে তাহলে তা লিখি।

অধ্যায় : 4

পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

সংখ্যারেখায় স্বাভাবিক সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা ও অখণ্ড সংখ্যার মধ্যে সম্পর্ক খুঁজি :

স্বাভাবিক সংখ্যা   পূর্ণসংখ্যা   অখণ্ড সংখ্যা

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

1. ঠিক আগের ও পরের পূর্ণসংখ্যা লিখি :

নিজে করি – 4.1

1. (i) সংখ্যারেখায় দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যোগ করতে হলে প্রথম সংখ্যার স্থান থেকে আরও $\Box$ দিকে যেতে হয়।

(ii) সংখ্যারেখায় দুটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা যোগ করতে হলে প্রথম সংখ্যার স্থান থেকে আরও $\Box$ দিকে যেতে হয়।

(iii) সংখ্যারেখায় দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা বিয়োগ করতে হলে প্রথম সংখ্যার স্থান থেকে $\Box$ দিকে যেতে হয়।

(iv) সংখ্যারেখায় দুটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা বিয়োগ করতে হলে প্রথম সংখ্যার স্থান থেকে $\Box$ দিকে যেতে হয়।

2. নীচের ছক পূরণ করি:

অধ্যায় : 4

পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

-5

আজ ছোটু ও মানাই ঠিক করেছে, ওরা দুজনে সিঁড়িতে ওঠা নামা করে বিভিন্ন সংখ্যার মধ্যে তৈরি করবে। প্রথমে ছোটু উঠবে 5 ধাপ ও মানাই হিসাব করবে। সংখ্যা গোনার আগে তারা সিঁড়ির গায়ে সংখ্যা লিখে দিল। ছোটু 0 ধাপের সিঁড়িতে ছিল।

ছোটু প্রথমে 2 ধাপ উপরে উঠল। $0+(+2) = +2$

ছোটু এখন +2 নম্বর সিঁড়িতে আছে। 2 স্বাভাবিক সংখ্যা বা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা বা অখণ্ড সংখ্যা।

এবার ছোটু 3 ধাপ নিচে নেমে এল। ছোটু $(-3)$ ধাপ উঠল।

ছোটু এখন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা নম্বরের সিঁড়িতে দাঁড়িয়ে আছে।

$(+2)+(-3) = -1$   ছোটু -1 নম্বর সিঁড়িতে এল।

ছোটু এখন আর কত ঘর গেলে -5 নম্বর সিঁড়িতে পৌঁছোবে দেখি।

$(-5) - (-1) = -5 + 1 = -4$

ছোটু -4 ঘর উঠবে অর্থাৎ 4 ঘর নামবে।

এবার $\Box$ ঘর উঠলে ছোটু আবার 0 দাগের সিঁড়িতে আসবে।

3. ছোটুর ওঠানামা নীচের ছক পূরণ করি -

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 4

4. স্বাভাবিক সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা ও অখণ্ড সংখ্যার মধ্যে সম্পর্ক পেলাম

স্বাভাবিক সংখ্যা   পূর্ণসংখ্যা   অখণ্ড সংখ্যা

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

5. এবার আমরা নিজেরা মানাই-এর সিঁড়িতে ওঠানামার ছক পূরণ করি -

মানাই-এর ছক থেকে নীচের ঘরে ($\Box = \text{বা } \ne$) চিহ্ন বসাই -

$(+3) + (-5) \Box (-5) + (+3)$   $\therefore$ পূর্ণসংখ্যার যোগ বিনিময় নিয়ম মেনে চলে কিন্তু

$(+4) - (-4) \Box (-4) - (+4)$   পূর্ণসংখ্যার বিয়োগ $\Box$ নিয়ম মেনে চলে না।

$\therefore a$ ও $b$ যেকোনো দুটি পূর্ণসংখ্যা হলে $a+b=b+a$ কিন্তু $a-b \ne b-a$

হাতেকলমে

পিচবোর্ডের স্কেল তৈরি করি ও সংখ্যারেখায় বিয়োগ করি -

প্রধান স্কেল

সাইড স্কেল

পিচবোর্ড ও সাদা আর্ট পেপার দিয়ে উপর থেকে দুটো স্কেল তৈরি করলাম।

প্রথম স্কেলের নাম দিলাম প্রধান স্কেল। দ্বিতীয় স্কেলের নাম দিলাম সাইড স্কেল।

অধ্যায় : 4

পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

5. দুটি স্কেলের সাহায্যে (i) $(+2) + (+3)$, (ii) $(-1) + (-2)$, (iii) $- 2 - (-4)$ নির্ণয় করি।

(i) প্রধান স্কেলের $(+2)$-এ সাইড স্কেলের 0 দাগ মিলিয়ে দেখব সাইড স্কেলের $(+3)$ প্রধান স্কেলের যে দাগের সঙ্গে মিশে যাবে সেই দাগের মানই $(+2) + (+3)$-এর মান নির্দেশ করবে।

প্রধান স্কেল

সাইড স্কেল

দুটি স্কেল থেকে পাইছি, $(+2) + (+3) = +5$

(ii) আগের মতো প্রধান স্কেলের $(-1)$-এ সাইড স্কেলের 0 দাগ মিলিয়ে সাইড স্কেলের $(-2)$ দাগ প্রধান স্কেলের যে দাগের সঙ্গে মিশে যাবে সেই দাগের মানই $(-1) + (-2)$-এর মান নির্দেশ করবে।

প্রধান স্কেল

সাইড স্কেল

দুটি স্কেল থেকে পাইছি, $(-1) + (-2) = (-3)$

(iii) $-4$-এর বিপরীত $+4$ অর্থাৎ $(-4) = +4$

$\therefore$ দুটি স্কেল থেকে পাইছি, $-2 - (-4) = (+2) + \Box = \Box$

প্রধান স্কেল

সাইড স্কেল

হাতেকলমে দুটি পিচবোর্ডের স্কেলের সাহায্যে মান নির্ণয় করি।

• (i) $(+4) + (+8)$
• (ii) $(-9) + (+6)$
• (iii) $(-6) + (-2)$
• (iv) $(+8) - (-2)$
• (v) $(-8) - (-2)$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 4

6. এবার সংখ্যারেখায় যেকোনো তিনটি পূর্ণসংখ্যার যোগ করে তাদের সাধারণ নিয়ম খুঁজি :

সংখ্যারেখার সাহায্যে $(+2) + (+4) + (-8)$-এর মান নির্ণয় করি।

$(+2) + (+4) + (-8) = (-2) + (-8) = -10$

কিন্তু যদি এমন হয় $(+2) + \{(-4) + (-8)\}$ তবে কী পাই দেখি,

$(+2) + \{(-4) + (-8)\} = (+2) + \Box = -10$

পেলাম, $\{(+2) + (+4)\} + (-8) = (+2) + \{(-4) + (-8)\}$

সংখ্যারেখায় তৈরি করে মান খুঁজি :

$(-6) + (+2) + (+8) = \Box$

$(-6) + \{(-2) + (+8)\} = \Box$

নিজে অন্য তিনটি পূর্ণসংখ্যা নিয়ে যোগের সংযোগ নিয়ম যাচাই করি। (নিজে করি)

$\therefore$ পূর্ণসংখ্যার যোগ সংযোগ নিয়ম মেনে চলে।

অর্থাৎ $a, b, c$ যেকোনো তিনটি পূর্ণসংখ্যা হলে $(a+b)+c = a+(b+c)$

অধ্যায় : 4

পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

7. সংখ্যারেখা থেকে $\{ (+2) - (-4) \} - (-8)$ এর মান যাচাই করি

$\{(+2) - (-4)\} - (-8) = (+2) + (+4) + (+8) = (+6) + (+8) = \Box$

$+14$

আবার সংখ্যারেখায় দেখি -

$(+2) - (-4) - (-8) = (+2) - (-4) + (-8) = (+2) - (+4) + (-4) = -2$ (নিজে সংখ্যারেখা তৈরি করি ও মান খুঁজি)

$\therefore \{ (+2) - (-4) \} - (-8) \ne (+2) - \{ (-4) - (-8) \}$

নিজে অন্য যেকোনো তিনটি পূর্ণ সংখ্যা নিয়ে সংখ্যারেখায় বিয়োগ করি ও যাচাই করি যে পূর্ণ সংখ্যার বিয়োগ সংযোগ নিয়ম মেনে চলে না। (নিজে করি)

সংখ্যারেখার বিয়োগের মাধ্যমে পূর্ণসংখ্যার বিয়োগ $\Box$ নিয়ম মেনে চলে না।

$\therefore a, b$ ও $c$ যেকোনো তিনটি পূর্ণসংখ্যা হলে $a-b-c \ne a-(b-c)$

নিজে করি – 4.2

1. বামদিকের সাথে ডানদিকের নিয়মের সম্পর্ক মিলিয়ে মেলাই।

• (i) $(+6) + (-2) = (+6)$
• (ii) $(-8) - (+2) \ne (+2) - (-8)$
• (iii) $\{(-1) - (-1)\} - (-12) \ne (-1) - \{(-1) - (-12)\}$
• (iv) $\{(+3) + (-7)\} + (-11) = (+3) + \{(-7) + (-11)\}$

• (i) পূর্ণসংখ্যার যোগ সংযোগ নিয়ম মেনে চলে।
• (ii) পূর্ণসংখ্যার যোগ বিনিময় নিয়ম মেনে চলে।
• (iii) পূর্ণসংখ্যার বিয়োগ বিনিময় নিয়ম মেনে চলে না।
• (iv) পূর্ণসংখ্যার বিয়োগ সংযোগ নিয়ম মেনে চলে না।

2. এমন একটি স্বাভাবিক পূর্ণসংখ্যা লিখি যেটি দুটি স্বাভাবিক পূর্ণসংখ্যার সমষ্টির সমান।

3. এমন একটি স্বাভাবিক পূর্ণসংখ্যা লিখি যেটি দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার বিয়োগের সমান।

4. এমন একটি স্বাভাবিক পূর্ণসংখ্যা লিখি যেটি দুটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার বিয়োগের সমান।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 4

আজ পলিদের বাড়ির ছাদে একটি আলোচনা সভার আয়োজন করা হয়েছে। 40টি চেয়ার রাখা হবে। কিন্তু সারিতে 8টি ও স্তম্ভে 5টি চেয়ার রাখলে অর্থাৎ $8 \times 5$ ভাবে চেয়ারে রাখা যাচ্ছে। তাই $5 \times 8$ ভাবে অর্থাৎ সারিতে 5টি ও স্তম্ভে 8টি চেয়ার রেখে দেখলাম চেয়ারে রাখা যাচ্ছে।

এটি কেমন করে সম্ভব হলো?

$8 \times 5 = 5 \times 8$

a ও b দুটি পূর্ণসংখ্যা হলে $a \times b = b \times a$ অর্থাৎ পূর্ণসংখ্যার গুণ বিনিময় নিয়ম মেনে চলে।

সংখ্যারেখায় পূর্ণসংখ্যার গুণ করি।

8. $4 \times 2$-এর মান খুঁজি

$\therefore$ সংখ্যারেখা থেকে পেলাম $4 \times 2 = (+2) + (+2) + (+2) + (+2) = +8$

9. $2 \times 4$-এর মান খুঁজি

$\therefore$ সংখ্যারেখা থেকে পেলাম $2 \times 4 = (+4) + (+4) = +8$

$\therefore 4 \times 2 = 2 \times 4$, অর্থাৎ এক্ষেত্রেও পূর্ণসংখ্যার গুণের বিনিময় নিয়ম প্রযোজ্য।

অধ্যায় : 4

পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

3 $\times$ $(-4)$-এর মান সংখ্যারেখায় খুঁজি

সংখ্যারেখা থেকে পেলাম $3 \times (-4) = (-4) + (-4) + (-4) = -12$

আবার $2 \times (-3) = \Box + \Box = \Box = (2 \times 3)$

$2 \times (-3)$ মান নির্ণয়ের সময়ে প্রথমে $2 \times 3$-এর মান নির্ণয় করে সামনে ঋণাত্মক চিহ্ন বসালাম

$3 \times (-5) = \Box + \Box + \Box = \Box = \Box \times \Box$

নিজে করি – 4.3

• (i) $6 \times (-8) = \Box$
• (ii) $7 \times (-3) = \Box$
• (iii) $9 \times (-12) = \Box$

$\therefore a$ ও $b$ দুটি পূর্ণসংখ্যা হলে $a \times (-b) = -(a \times b)$

এবার অন্যভাবে গুণ করি -

$3 \times 3 = 9$

$2 \times 3 = 6$

$1 \times 3 = 3$

$0 \times 3 = 0$

$-1 \times 3 = -3$

$-2 \times 3 = -6$

পেলাম, $3 \times (-2) = -6$

$\therefore a \times (-b) = -(a \times b)$

যাচাই করি

• (i) $(-4) \times 3 = -4 \times (-3) = \Box$
• (ii) $6 \times (-8) = \Box = \Box$
• (iii) $7 \times (-3) = \Box$
• (iv) নিজে আরও 4টি উদাহরণ তৈরি করে যাচাই করি।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 4

10. এবার $(-4) \times (-3)$-এর মান বের করার চেষ্টা করি।

$(-4) \times 2 = -8$

$(-4) \times 1 = -4$

$(-4) \times 0 = 0$

$(-4) \times (-1) = 0 - (-4) = +4$

$(-4) \times (-2) = -4 - (-4) = +8$

$(-4) \times (-3) = \Box - (\text{ } ) = \Box$

দুটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফলের সমান।

11. যাচাই করি: $(-2) \times (-3)$

$(-2) \times 3 = \Box$

$(-2) \times 2 = \Box = -6$

$(-2) \times 1 = \Box$

$(-2) \times 0 = \Box$

$(-2) \times (-1) = 0 - (-2) = \Box$

$(-2) \times (-2) = \Box$

$(-2) \times (-3) = \Box$

$\therefore a$ ও $b$ যেকোনো দুটি পূর্ণসংখ্যা হলে $(-a) \times (-b) = a \times b$

নিজে করি – 4.4

• (i) $(-5) \times 2$ থেকে শুরু করে $(-5) \times (-2)$-এর মান নির্ণয় করি।
• (ii) $(-7) \times 3$ থেকে শুরু করে $(-7) \times (-3)$-এর মান নির্ণয় করি।
• (iii) $(-6) \times 2$ থেকে শুরু করে $(-6) \times (-4)$-এর মান নির্ণয় করি।
• (iv) $(-7) \times (-9) = \Box$
• (v) $\Box \times (-33) = \Box$
• (vi) $0 \times (-6) = \Box$
• (vii) $(-12) \times (-3) = \Box$
• (viii) $(-7) \times 0 = \Box$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 4

হাতেকলমে রঙিন কাগজ সাহায্যে পূর্ণসংখ্যার গুণ করি।

(i) প্রথমে দুটি রঙিন বর্গাকার কাগজ নিলাম। নীল রঙের কাগজের বর্গির মান (+1) ও লাল রঙের বর্গির মান (-1)

$\rightarrow +1$, $\rightarrow -1$

(ii) কতগুলি বর্গাকার কার্ড তৈরি করলাম যার একদিকে নীল রঙের বর্গাকার কাগজ ও অন্যদিকে লাল রঙের বর্গাকার কাগজ আটকিয়ে দিলাম।

(iii) একটি সাদা কাগজের আয়তাকার বাহুর একদিকে গুণ্য বা গুণকের ধনাত্মক সংখ্যার জন্য একক দৈর্ঘ্যের দাগ এবং অন্যদিকে গুণ্য বা গুণকের ঋণাত্মক সংখ্যার জন্য একক দৈর্ঘ্যের দাগ দিলাম।

(iv) এই আয়তাকার বাহুর একদিকে '$+$' দাগ লাগাব সব নীল রঙের কার্ডগুলি 1 বার উলটে যাবে ও সব নীল কার্ড লাল হয়ে যাবে।

হাতেকলমে $(+4) \times (+3)$ নির্ণয় করি

1. ছবির মতো আয়তাকার বাহুর একদিকে চারটি নীল দাগ ও অন্যদিকে 3টি নীল দাগ টানলাম।

2. এবার নীল রঙের একরকম বর্গের কার্ড দিয়ে আয়তাকার ছবিতে মতো ভরাট করলাম। নীল কার্ডের সংখ্যা 12টি।

$\therefore$ 12টি নীল রঙের কার্ডের মান (+12)

$(+4) \times (+3) = +12$

হাতেকলমে $(-4) \times (+3)$ নির্ণয় করি

1. ছবির মতো 4টি লাল দাগ এবং 3টি নীল দাগ টানলাম।

2. যেহেতু একদিকে লাল দাগ আছে, তাই কার্ডগুলি একবার উলটে যাবে ও সব কার্ডগুলি লাল হয়ে যাবে।

3. লাল রঙের 12টি কার্ড পেলাম, যার মান (-12)

$\therefore (-4) \times (+3) = -12$ পেলাম।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 4

হাতেকলমে $(-4) \times (-3)$ এর মান নির্ণয় করি

1. পাশের ছবির মতো 7টি লাল দাগ টানলাম।

2. পাশের ছবির মতো নীল রঙের একক বর্গাকার কার্ড দিয়ে আয়তাকারে সাজালাম।

3. যেহেতু দুদিকে লাল দাগ আছে, কার্ডগুলি দু-বার উলটে যাবে ও সব কার্ডগুলি আবার নীল হবে।

হাতে কলমে $(-4) \times (-3) = 12$ পেলাম।

নিজে করি – 4.5

1. নীচের ছক পূরণ করি :

2. $(-7) \times 7 + 12 \times (-8) = \Box$

3. $(-20) \times 11 + (-35) \times 20 = \Box$

4. $\Box \times \Box + \Box \times \Box = -100$ [নিজে বসাই]

5. $4 \times (-4) + (-5) \times 5 = \Box$

6. $(-6) \times (-10) + (-4) \times 4 = \Box$

7. $\Box \times \Box + \Box \times \Box = \Box$ [নিজে বসাই]

অধ্যায় : 4

পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

12. এবার দুটি তিনটি পূর্ণসংখ্যার গুণ করি-

$2 \times 4 \times 5 = 8 \times 5 = 40$

$2 \times 4 \times 5 = 2 \times 20 = 40$

$\therefore 2 \times (4 \times 5) = (2 \times 4) \times 5$

$(-2) \times (-4) \times (-3) = \{(-2) \times (-4)\} \times (-3) = (8) \times (-3) = -24$

$(-2) \times (-4) \times (-3) = (-2) \times \{(-4) \times (-3)\} = (-2) \times (12) = -24$

$\{(-2) \times (-4)\} \times (-3) = (-2) \times \{(-4) \times (-3)\}$

দেখলাম, a, b, c, তিনটি যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হলে $abc = (ab)c = a.(bc)$

সুতরাং গুণের ক্ষেত্রেও পূর্ণসংখ্যা সংযোগ নিয়ম মেনে চলে।

$(-2) \times (-5) \times (-4) = (-2) \times \{(-5) \times (-4)\}$

$= (-2) \times (20) = -40$

$\therefore (-2) \times (-5) \times (-4) = \Box$

নিজে করি – 4.6

• (i) $(-6) \times (-5) \times (-7) \times (-3) = \Box$
• (ii) $(-5) \times (-2) \times (-10) \times (-8) \times (-3) = \Box$
• (iii) $(-11) \times (-12) \times (-2) = \Box$
• (iv) $(-9) \times (-5) \times (-6) \times (-3) = \Box$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 4

গুণ করি

$(-1) \times (-1) = +1$

$(-1) \times (-1) \times (-1) = \{(-1) \times (-1)\} \times (-1)$

$= (+1) \times (-1) = -1$

$(-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1)$

$= \{(-1) \times (-1)\} \times \{(-1) \times (-1)\}$

$= (+1) \times (+1) = 1 \times 1 = 1$

$(-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1)$

$= 1 \times (-1) = -1$

$= (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) = -1$

পেলাম, জোড় সংখ্যক ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফলের চিহ্ন ধনাত্মক এবং বিজোড় সংখ্যক ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফলের চিহ্ন ঋণাত্মক হয়।

নীচের ছক পূরণ করি ও সিদ্ধান্ত লিখি।

নিজে পূর্ণসংখ্যার গুণের একটি উদাহরণ তৈরি করি

অধ্যায় : 4

পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

ছক থেকে পেলাম,

$a \times b = b \times a$

আবার a, b ও c যেকোনো তিনটি পূর্ণসংখ্যা হলে,

$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ হবে।

14. পূর্ণসংখ্যার গুণের কোনো কোনো নতুন নিয়ম আছে কিনা দেখি

$10 \times (13+15) = 10 \times 28 = 280$

আবার, $10 \times 13 + 10 \times 15 = 130 + 150 = 280$

$\therefore$ পেলাম, $10 \times (13+15) = 10 \times 13 + 10 \times 15$

15. আমি অন্য একটি পূর্ণসংখ্যার অঙ্ক তৈরি করে যাচাই করি,

$12 \times (17+21) = 12 \times 38 = 456$

$12 \times 17 + 12 \times 21 = 204 + 252 = 456$

$\therefore 12 \times (17+21) = 12 \times 17 + 12 \times 21$

$\therefore$ পেলাম, a, b ও c তিনটি পূর্ণসংখ্যা হলে,

$a \times (b+c) = a \times b + a \times c$ হয়।

অর্থাৎ, পূর্ণসংখ্যার গুণ বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলে।

নিজে করি – 4.7

• 1) $9 \times (8+3) \Box 9 \times 8 + 9 \times 3 [\ne / = \text{বসাওই}]$
• 2) $6 \times (5+4) \Box 6 \times 5 + 6 \times 4 [\ne / = \text{বসাওই}]$

16. পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে গুণের বন্টন নিয়ম যাচাই করি

i) $(-5) \times (+7-2) = (-5) \times (9) = -45$

$(-5) \times (+7) - (-5) \times (-2) = (-35) - (-10) = -45$

$\therefore (-5) \times (+7-2) = (-5) \times (+7) - (-5) \times (-2)$

ii) $(-2) \times \{(-3) + (+2)\} = (-2) \times (-1) = 2$

$(-2) \times (-3) + (-2) \times (+2) = 6 + (-4) = 2$

$\therefore (-2) \times \{(-3) + (+2)\} = (-2) \times (-3) + (-2) \times (+2)$

iii) $(-11) \times \{(-4) + (-7)\} = \Box \times \Box = \Box$

$(-11) \times (-4) + (-11) \times (-7) = \Box + \Box = \Box$

$\therefore (-11) \times \{(-4) + (-7)\} = (-11) \times (-4) + (-11) \times (-7)$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 4

ধনাত্মক ও ঋণাত্মক সংখ্যার ব্যবহার

17. নীডু ও মিলনের আজ একটি বিজ্ঞানবিষয়ক প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষা ছিল। পরীক্ষা প্রথম ছিল। প্রতি প্রশ্নের ঠিক উত্তরের জন্য 6 নম্বর ও প্রতি প্রশ্নের ভুল উত্তরের জন্য -3 নম্বর দেওয়া হবে। নীডু 7টি ঠিক উত্তর দিয়েছে। কিন্তু 5টি ভুল উত্তর হয়েছে।

আমি কত নম্বর পাব? হিসাব করি।

7টি ঠিক উত্তরের জন্য পাব $7 \times 6$ নম্বর = 42 নম্বর

5টি ভুল উত্তরের জন্য পাব $5 \times (-3)$ নম্বর = -15 নম্বর

$\therefore$ নীডু মোট নম্বর পাবে, $42 + (-15)$ নম্বর

$= (42-15)$ নম্বর = 27 নম্বর

মিলনের 6 টি ঠিক উত্তর ও 6 টি ভুল হয়েছে। মিলন কত নম্বর পাবে দেখি।

6টি ঠিক উত্তরের জন্য পাবে, $6 \times 6$ নম্বর

= 36 নম্বর

6টি ভুল উত্তরের জন্য পাবে, $6 \times (-3)$ নম্বর

= -18 নম্বর

$\therefore$ মিলন মোট নম্বর পাবে $36 + (-18) = 18$

18. রুমেলার 12 টি উত্তরের মধ্যে 4 টি ঠিক ও 8 টি ভুল হয়েছে। রুমেলা কত নম্বর পাবে দেখি।

রুমেলার 4 টি ঠিক উত্তরের জন্য পাবে $\Box \times \Box = \Box$

8 টি ভুল উত্তরের জন্য পাবে $\Box \times \Box = \Box$

$\therefore$ রুমেলা মোট নম্বর পাবে $\Box = \Box$

19. এক ফল বিক্রেতার প্রতি কিগ্রা. আপেল বিক্রি করে 5 টাকা লাভ হলো। কিন্তু প্রতি কিগ্রা. লিচু বিক্রি করে 4 টাকা ক্ষতি হলো। তিনি 10 কিগ্রা. আপেল ও 14 কিগ্রা. লিচু বিক্রি করলেন। তার মোট কত টাকা লাভ বা ক্ষতি হলো হিসাব করি।

আমি বিক্রি করে 1 কিগ্রা.তে লাভ করলেন 5 টাকা।

$\therefore$ 10 কিগ্রা.তে লাভ করলেন $5 \text{ টাকা} \times 10 = 50 \text{ টাকা}$।

1 কিগ্রা. লিচু বিক্রি করে ক্ষতি হলো 4 টাকা।

$\therefore$ 14 কিগ্রা. লিচু বিক্রি করে ক্ষতি হলো $14 \times (-4)$ টাকা।

= -56 টাকা

$\therefore$ ফল বিক্রেতার মোট লাভ হলো $50 + (-56)$ টাকা

$= (50-56) = -6$ টাকা $\therefore$ ফল বিক্রেতার ক্ষতি হয় 6 টাকা।

অধ্যায় : 4

পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

নিজে করি – 4.8

1) মিজানুর, তীর্থ ও নাবিহা একটি পরীক্ষা দিয়েছে। ওই পরীক্ষায় 10 টি প্রশ্ন ছিল। পরীক্ষাতে প্রতিটি ঠিক উত্তরের জন্য 5 নম্বর ও প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য -2 নম্বর পাবে।

• a) মিজানুরের 6 টি উত্তর ঠিক হয়েছে এবং বাকি 4টি উত্তরের উত্তর ভুল হয়েছে।
• b) তীর্থর 5টি প্রশ্নের উত্তর ঠিক হয়েছে এবং বাকি 5টি প্রশ্নের উত্তর ভুল হয়েছে।
• c) নাবিহা 3টি প্রশ্নের উত্তর ঠিক দিয়েছে এবং বাকি 7টি প্রশ্নের উত্তর ভুল দিয়েছে।

প্রতিযোগিকে কে কত নম্বর পাবে হিসাব করি।

2) একটি ফাস্টফুডের দোকানে সে আজ 15টি কাটের আলমারি বিক্রি হয়েছে। 10টি আলমারির প্রত্যেকটিতে 300 টাকা লাভ হয়েছে। কিন্তু বাকি 5টি আলমারিতে মোট 200 টাকা ক্ষতি হয়েছে। ওই দোকানের মালিকের এই মাসে আলমারি বিক্রি করে কত টাকা লাভ বা ক্ষতি হয়েছে হিসাব করি।

3) একটি কয়লার খনিতে একটি লিফট মাটি থেকে শুরু করে প্রতি মিনিটে 6 মিটার নামে। লিফটটি মাটি থেকে নামা শুরু করার 30 মিনিট পরে তার অবস্থান কোথায় হবে দেখি। যদি লিফটটি ভূমি 20 মিটার উঁচু থেকে শুরু করত তবে 30 মিনিট পরে লিফটটি কী অবস্থানে থাকত দেখি।

ধরি ভূমির উপরের দিকের দূরত্ব ধনাত্মক এবং মাটির নীচের দিকের দূরত্ব ঋণাত্মক।

যেহেতু লিফটটি ভূমির নীচে যাবে,

$\therefore$ 1 মিনিটে লিফটটি নামবে 6 মিটার [অর্থাৎ যাবে -6 মিটার]।

30 মিনিটে লিফটটি নামবে $6 \times 30$ মিটার = 180 মিটার। [অর্থাৎ যাবে -180 মিটার]

অর্থাৎ 30 মিনিট পরে ভূমি 180 মিটার নীচে থাকবে।

যদি লিফটটি ভূমি 20 মিটার উচ্চতাকে ভূমি থেকে নীচে যেত তাহলে, 30 মিনিট পরে লিফটটির অবস্থান হতো $\{(-180)+20\}$ মিটার

= -160 মিটার

অর্থাৎ, লিফটটি ভূমি থেকে 160 মিটার নীচে থাকত।

4) অপর একটি খনিতে একটি লিফট প্রতি মিনিটে 4 মিটার নামে।

• (a) এক ঘণ্টা পরে লিফটটি কী অবস্থানে থাকবে দেখি।
• (b) যদি লিফটটি ভূমি 15 মিটার উপর থেকে নামত তবে 30 মিনিট পরে লিফটটি কোথায় থাকত হিসাব করে লিখি।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 4

20. আজ আমরা 8 জন বন্ধু মিলে ঠান্ডা চালে বালিমাছিব মাখব। ঠিক করেছো প্রত্যেকে 5 টাকা করে চাঁদা দেব। কিন্তু 3 জন বন্ধু বিশেষ কারণে বাড়ি চলে গেল। কত টাকা চাঁদা উঠল দেখি।

চাঁদা উঠল $5 \times (8-3)$ টাকা = $5 \times 5$ টাকা = 25 টাকা

আবার $(5 \times 8 - 5 \times 3)$ কী পাই দেখি, $5 \times 8 - 5 \times 3 = 40 - 15 = 25$

$\therefore 5 \times (8-3) = 5 \times 8 - 5 \times 3$

অন্য সংখ্যা নিয়ে যাচাই করি

• (i) $2 \times \{6 - (-2)\} = 2 \times \{6+2\} = 2 \times 8 = 16$
• $2 \times 6 - 2 \times (-2) = 12 - (-4) = 12 + 4 = 16$
• $\therefore 2 \times \{6 - (-2)\} = 2 \times 6 - 2 \times (-2)$
• (ii) $7 \times \{(-3) - (-6)\} = 7 \times (-3+6) = 7 \times 3 = 21$
• $7 \times (-3) - 7 \times (-6) = \Box - \Box = \Box$ [ফাঁকা ঘর ভরতি করি]
• (iii) $(-9) \times \{(-1) - (+6)\} = (-9) \times (-1-6) = (-9) \times (-7) = -45$
• আবার, $(-9) \times (-1) - (-9) \times (+6) = 9 - 54 = -45$
• $(-9) \times \{(-1) - (+6)\} = (-9) \times (-1) - (-9) \times (+6)$

পেলাম, a, b ও c যেকোনো তিনটি পূর্ণসংখ্যা হলে, $a \times (b-c) = a \times b - a \times c$

মনে মনে হিসাব করি

• (i) $5 \times (13) = 5 \times (10+3) = 5 \times 10 + 5 \times 3 = 50 + 15 = 65$
• (ii) $6 \times 18 = 6 \times (20-2) = 6 \times 20 - 6 \times 2 = 120 - 12 = 108$
• (iii) $7 \times 33 = 7 \times (\Box + \Box) = 7 \times \Box + 7 \times \Box = \Box$
• (iv) $9 \times 98 = 9 \times (100-2) = \Box - \Box = \Box$
• (v) $26 \times (-48) = 26 \times [2-50] = 26 \times 2 - 26 \times 50 = \Box - \Box = \Box$
• (vi) $(-18) \times (-29) = \Box$
• (vii) $16 \times (25) \times (-4) \times 3 = 25 \times 16 \times (-4) \times 3 = 25 \times (-4) \times 16 \times 3 = (-100) \times 16 \times 3 = (-1600) \times 3 = -4800$
• (viii) $12 \times 10 \times (-2) \times 4 = \Box$
• (ix) $(-51) \times (-19) + 57 = \Box$

অধ্যায় : 4

পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

21. পূর্ণসংখ্যার ভাগ থেকে কী পাই দেখি-

$5 \times 6 = 30$

$8 \times 4 = 32$

$30 \div 5 = 6$

$30 \div 6 = 5$

$32 \div 4 = 8$

$32 \div 8 = 4$

$(-5) \times 7 = -35$

$(-8) \times (-6) = 48$

$-35 \div (+7) = -5$

$-35 \div (-5) = 7$

$48 \div (-8) = -6$

$48 \div (-6) = -8$

$(-4) \times 9 = -36$

$(-2) \times 7 = -14$

$-36 \div (-4) = 9$

$-36 \div 9 = -4$

$-14 \div (-2) = 7$

$-14 \div 7 = -2$

$(-2) \times (-6) = 12$

$(-9) \times (-5) = 45$

বিভিন্ন ধরনের ভাগের অঙ্ক থেকে কী পেলাম দেখি-

$30 \div 6 = 5$

$35 \div (+7) = -5$

$(-36) \div (-4) = 9$

$(-36) \div (9) = -4$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 4

পেলাম, ধনাত্মক সংখ্যাকে ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল ধনাত্মক সংখ্যা হয়।

আবার, ধনাত্মক সংখ্যাকে ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে, ভাগফল $\Box$ সংখ্যা হয়।

আবার, ঋণাত্মক সংখ্যাকে ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে, ভাগফল $\Box$ সংখ্যা হয়।

হাতেকলমে রঙিন কার্ড দিয়ে পূর্ণসংখ্যার ভাগ করি

রঙিন কার্ড দিয়ে পূর্ণসংখ্যার ভাগ করি :

অনেকগুলি বর্গাকার নীল ও লাল রঙের কাগজ কাটলাম। একই মাপের বর্গাকার পিচবোর্ডের কার্ড তৈরি করলাম যার একপাশে নীল কাগজ ও অপর পাশে লাল কাগজ লাগিয়ে দিলাম। ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে এক বার উলটে যাবে।

নীল রঙের বর্গাকার পিচবোর্ডের কার্ডের মান +1 ও লাল রঙের বর্গাকার পিচবোর্ডের কার্ডের মান -1 নিলাম।

1) $6 \div 3$ নির্ণয় করব

i) 6টি নীল রঙের বর্গাকার কার্ড নিলাম,

ii) এবার 6টি নীল রঙের বর্গাকার কার্ডগুলোকে 3টি সমান সংখ্যক দলে ভাগ করলাম।

প্রথম দল   দ্বিতীয় দল   তৃতীয় দল

প্রতি দলে দুটি নীল রঙের বর্গাকার কার্ড পেলাম, যার মান +2

$\therefore 6 \div 3 = 2$

2) $6 \div (-3) = -2$ এর মান হাতেকলমে নির্ণয় করি।

i) প্রথমে 6টি নীল রঙের বর্গাকার কার্ড নিলাম।

ii) যেহেতু ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা দিয়ে ভাগ করা হচ্ছে তাই,

6টি নীল কার্ড একবার উলটে দিলে 6টি লাল কার্ড হয়ে যাবে।

অধ্যায় : 4

পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

iii) এবার লাল কার্ডগুলিকে 3টি সমান সংখ্যক দলে ভাগ করলাম।

প্রথম দল   দ্বিতীয় দল   তৃতীয় দল

প্রতি দলে 2 টি করে নীল কার্ড আছে যার মান -2

পেলাম, $6 \div (-3) = -2$

3. $(-6) \div (-3)$-এর মান নির্ণয় করার চেষ্টা করি।

i) 6টি লাল রঙের পিচবোর্ডের কার্ড নিলাম।

ii) যেহেতু ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা দিয়ে ভাগ করা হচ্ছে, তাই,

6টি লাল রঙের কার্ড একবার উলটে দিলে 6টি নীল রঙের কার্ড পেলাম,

iii) এবার নীল কার্ডগুলিকে 3টি সমান সংখ্যক দলে ভাগ করলাম।

প্রথম দল   দ্বিতীয় দল   তৃতীয় দল

প্রতি দলে দুটি লাল রঙের বর্গাকার কার্ড আছে যার মান -2

$\therefore$ পেলাম $6 \div 3 = 2$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 4

পেলাম, ধনাত্মক সংখ্যাকে ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল ধনাত্মক সংখ্যা হয়।

আবার, ধনাত্মক সংখ্যাকে ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে, ভাগফল $\Box$ সংখ্যা হয়।

আবার, ঋণাত্মক সংখ্যাকে ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে, ভাগফল $\Box$ সংখ্যা হয়।

নীচের ছক পূরণ করি :

পেলাম, $21 \div (-3) = -7$ কিন্তু $21 \div (-3) \ne - \frac{21}{3}$

$\therefore 21 \div (-3) \ne -(21 \div 3)$

$a$ ও $b$ দুটি পূর্ণসংখ্যার জন্য $a \div b \ne b \div a$

চারটি সংখ্যার উদাহরণ নিয়ে যাচাই করি যাতে $a \div b \ne b \div a$

অর্থাৎ সংখ্যার ভাগ $\Box$ নিয়ম মেনে চলে না।

অধ্যায় : 4

পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

23. শূন্যকে ভাগ করলে কী পাব দেখি-

যেহেতু শূন্যকে দুটি সমান সংখ্যক দলে ভাগ করলে শূন্য পাব। তাই $0 \div 2 = 0$

আবার $0 \div (+4) = \Box$, $0 \div (-8) = \Box$, $0 \div (-11) = \Box$

অর্থাৎ যেকোনো পূর্ণসংখ্যা $a \ne 0$ এর জন্য $0 \div a = 0$

ভাগের বন্টন ধর্ম দেখি

24. $(-12) \div \{(-8) + (-2)\}$ -এর মান নির্ণয় করি-

$(-12) \div (-4)$

$= 3$

কিন্তু $(-12) \div (-8) + (-2) = \frac{-12}{-8} + (-2) = \frac{3}{2} - 2 = \frac{3-4}{2} = -\frac{1}{2}$

$\therefore (-12) \div \{(-8) + (-2)\} \ne (-12) \div (-8) + (-12) \div (-2)$

যাচাই করি

• (i) $125 \div \{(-25) + (5)\} \ne 125 \div (-25) + 5$
• (ii) $36 \div \{(18) \div (-2)\} \ne (36 \div 18) \div (-1)$

$a, b$ ও $c$ যে কোনো তিনটি পূর্ণসংখ্যার জন্য, $a \div (b+c) \ne (a \div b) + c$

অর্থাৎ ভাগ ছাড়া পূর্ণসংখ্যার ভাগ $\Box$ নিয়ম মেনে চলে না।

নিজে করি – 4.9

যে কোনো 4 টি সংখ্যার উদাহরণ তৈরি করে যাচাই করি যে পূর্ণসংখ্যার ভাগ সংযোগ নিয়ম মেনে চলে না।

এবার পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে ভাগের বিচ্ছেদ নিয়ম দেখি -

$(-30) \div \{(-5) + 2\}$

$= (-30) \div (-3)$

$= 10$

অন্যভাবে কষে দেখি,

$(-30) \div (-5) + (-30) \div 2$

$= 6 + (-15) = 6 - 15 = -9$

$\therefore (-30) \div \{(-5) + 2\} \ne (-30) \div (-5) + (-30) \div 2$

$a, b$ ও $c$ যেকোনো তিনটি পূর্ণসংখ্যার জন্য, $a \div (b+c) \ne a \div b + a \div c$

যাচাই করি

• (i) $16 \div \{(-4) + 2\} \ne 16 \div (-4) + 16 \div 2$
• (ii) $(-70) \div \{(-7) + (-5)\} \ne (-70) \div (-7) + (-70) \div (-5)$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 4

$(-5) + 2\} + (-30) = (-3) + (-30) = \frac{1}{10}$

$\{(-5) + 2\} + (-30) = (-5) + \{2 + (-30)\}$

$= (-5) + \{-28\} = -33$

$(-30) + (-30) = \frac{6}{15} - \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$

দেখলাম $a, b, c$ যেকোনো তিনটি পূর্ণসংখ্যা হলে $(b+c) = a+b+c, a+o$

অর্থাৎ পূর্ণসংখ্যার ভাগ ধন বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলে কিনা দেখ।

কষে দেখি – 4

1. মনে মনে হিসাব করি :

• (a) $(-10) \times 4 = \Box$
• (b) $(-15) \times \Box = -90$
• (c) $25 \times \Box = -125$
• (d) $(-16) \times \Box = 96$
• (e) $(-13) \times \Box = -104$
• (f) $\Box \times 21 = -126$
• (g) $\Box \times \Box = -42$
• (h) $\Box \times (-30) = 330$
• (i) $-26 \div \Box = 1$
• (j) $\Box + 1 = -29$
• (k) $\Box + (-59) = -1$
• (l) $87 \div \Box = -87$

2. জোসেফ একটি পরীক্ষায় 15 টি প্রশ্নের মধ্যে 9 টি প্রশ্নের ঠিক উত্তর দিয়েছে। কিন্তু বাকি 6 টি প্রশ্নের উত্তর ভুল হয়েছে। প্রতিটি ঠিক উত্তরের জন্য 5 নম্বর পেয়ে সে মোট 33 নম্বর পেয়েছে। প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য কত নম্বর পেয়েছে হিসাব করে দেখি।

জোসেফ মোট নম্বর পেয়েছে 33; জোসেফ ঠিক উত্তর দিয়েছে 9 টি। প্রতিটি ঠিক উত্তরের জন্য নম্বর পেয়েছে 5;

$\therefore$ 9 টি ঠিক উত্তরের জন্য মোট নম্বর পেয়েছে $9 \times 5 = \Box$

ভুল উত্তরের জন্য কমে গেছে $45 - 33 = 12$

$\therefore$ 6 টি ভুল উত্তর দিয়েছে ও তার জন্য কমেছে 12 নম্বর। $\therefore$ 6 টি ভুল উত্তরের জন্য পেয়েছে -12

$\therefore$ 1 টি ভুল উত্তরের জন্য নম্বর পেয়েছে $(-12) \div 6 = \Box$

3. রেহানা ও সায়ান দুজনে পরীক্ষায় দিয়েছে। প্রত্যেকের পরীক্ষায় মোট 12 টি প্রশ্ন ছিল।

• (i) রেহানা 8 টি প্রশ্নের ঠিক উত্তর এবং 4 টি প্রশ্নের ভুল উত্তর দিয়ে 36 নম্বর পেয়েছে। কিন্তু প্রতিটি ঠিক উত্তরের জন্য 6 নম্বর পেয়েছে। রেহানার প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য কত নম্বর দেওয়া হয়েছে হিসাব করি।
• (ii) সায়ান 6 টি প্রশ্নের ঠিক উত্তর এবং বাকি 6 টি প্রশ্নের ভুল উত্তর দিয়ে মোট কত নম্বর পেয়েছে হিসাব করি।

অধ্যায় : 4

পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

4. কোনো জায়গার তাপমাত্রা $12^\circ C$; প্রতি ঘণ্টায় সমান হারে তাপমাত্রা কমতে কমতে 8 ঘণ্টা পরে সেখানকার তাপমাত্রা $-4^\circ C$ হয়। সেখানে প্রতি ঘণ্টায় কত ডিগ্রি তাপমাত্রা কমেছে হিসাব করি।

5. একটি খনিতে একটি লিফট মাটি থেকে 8 মিটার নীচে 24 মিটার নীচে নামে। লিফটটি যদি সমবেগে চলে তবে লিফটটি 6 মিনিটে কত মিটার নীচে থাকবে দেখি। ওই লিফটটি যদি ভূমি 10 মিটার উপর থেকে নীচে নামতে শুরু করে তবে 70 মিনিটে ভূমিীর কতটা নীচে থাকবে হিসাব করি।

নীচের ফাঁকা ঘর পূরণ করি -

• (i) $-16 \div 2 + \Box = -1$
• (ii) $20 \div 50 + \Box = -1$
• (iii) $41 \times (-5) + \Box = -3$
• (iv) $(-9) \times (-3) \times \Box = -81$
• (v) $(-15) \div (+5) = \Box$
• (vi) $(-18) \div \Box + 3 = -6$
• (vii) $\Box + 4 - 2 = -7$
• (viii) $\Box \times (-1) + 9 = 0$

7. দুটি উদাহরণ দিয়ে দেখাই যে পূর্ণসংখ্যার গুণ বিনিময় নিয়ম মেনে চলে কিন্তু পূর্ণসংখ্যার ভাগ বিনিময় নিয়ম মেনে চলে না।

8. দুটি উদাহরণ দিয়ে দেখাই যে পূর্ণসংখ্যার গুণ বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলে কিন্তু পূর্ণসংখ্যার ভাগ বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলে না।

মান নির্ণয় করি –

• (i) $(-125) \div 5$
• (ii) $(-144) \div 6$
• (iii) $(-49) \div 7$
• (iv) $225 \div (-3)$
• (v) $169 \div (-13)$
• (vi) $100 \div (-5)$
• (vii) $81 \div (-9)$
• (viii) $(-150) \div (-5)$
• (ix) $(-121) \div (-11)$
• (x) $(-275) \div (-25)$

অধ্যায় : 5

সূচকের ধারণা

আজ আমাদের শ্রেণিতে নাবিহা গল্প বলবে। নাবিহা আমার বন্ধু। সে সৈকতজগতের গল্প জানে। সে বলল আমরা যে পৃথিবীর উপরে আছি তার ভর 5,970, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000 কিগ্রা.। কিন্তু শুক্রগ্রহের ভর 4, 870, 000, 000, 000, 000, 000, 000 কিগ্রা.। আবার বৃহস্পতির ভর 330, 000, 000,000, 000, 000, 000, 000, 000 কিগ্রা.

$10 \times 10 = 10^2$

কে বেশি ভারী বলো?

সে আরও বলল পৃথিবী থেকে সূর্যের দূরত্ব 149600000 কিমি.। কিন্তু শুক্রগ্রহ ও সূর্যের দূরত্ব $108.2 \times 1000000$ কিমি.

কে কত বেশি দূরে কীভাবে সহজে বলব?

এসো বড়ো সংখ্যা নিয়ে কীভাবে হিসাব করব?

আমরা প্রথমে বড়ো সংখ্যাকে ছোট করে লেখার চেষ্টা করি।

আমরা জানি $10 \times 10 = 100$ কে $10^2$ লিখি।

তাহলে $10 \times 10 \times 10 = 1000$ কে $10^3$ লিখতে পারি। (10-এর তৃতীয় ঘাত)

$10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4$ (10-এর $\Box$ ঘাত)

$10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^5$ (10-এর $\Box$ ঘাত)

এখানে 10 কে নিধান এবং 10-এর ডানপাশে উপরে লেখা সংখ্যা সূচক

যেমন $10 \times 10 \times 10 = 10^3$

$\downarrow$ নিধান   $\uparrow$ সূচক

$10^3$-কে পড়া হয় 10-এর পঙ্কমঘাত।

আবার $1000 = 10 \times 10 \times 10 = 10^3$

$1000$-এর সূচক আকার হলো $10^3$; এখানে নিধান $\Box$ এবং সূচক $\Box$

আবার $10000$-এর সূচক আকার হলো $\Box$

অধ্যায় : 5

সূচকের ধারণা

615 কে যদি এমনভাবে লিখি

$615 = 6 \times 100 + 10 + 5 = 6 \times 10^2 + 10 + 5$

এভাবে বিস্তার করাকে 10-এর ঘাতে বিস্তার বলা হয়।

তাহলে, $806 = 8 \times 10^2 + 0 \times 10 + 1 \times 6$

1. আমি 781, 978, 4533 ও 7871-কে 10-এর ঘাতে বিস্তার করার চেষ্টা করি।

$781 = 7 \times \Box + \Box \times 10 + 1 \times \Box$

$978 = \Box \times 10^2 + 7 \times \Box + 8 \times \Box$

$4533 = 4 \times 10^3 + 5 \times \Box + \Box \times 3 + \Box \times \Box$

$7871 = 7 \times \Box + \Box \times \Box + 7 \times \Box + 1 \times \Box$

নিজে করি – 5.1

10 -এর ঘাতে বিস্তার করি -

• i) 8275
• ii) 90925
• iii) 12578
• iv) 7858

2. এবার 10 ছাড়া অন্য সংখ্যার ঘাতে প্রকাশ করি।

• (i) $81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$
• $\therefore 81$-এর ঘাত আকার হলো = $\Box$, এখানে নিধান $\Box$ ও সূচক $\Box$
• (ii) $243 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^5$
• $\therefore 243$-এর ঘাত আকার হলো = $\Box$, এখানে নিধান $\Box$ ও সূচক $\Box$

নিজে করি – 5.2

• 1) $100 = 10^\Box$
• 2) $2^7 = \Box$
• 3) $125 = 5^\Box$
• 4) $32 = 2^\Box$
• 5) $343 = 7^\Box$
• 6) $121 = \Box$
• 7) $625 = \Box$
• 8) $2^5 = \Box \times \Box \times \Box \times \Box \times \Box$
• 9) $3^4 = \Box \times \Box \times \Box \times \Box$
• 10) $729 = 9^\Box$
• 11) $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^\Box$
• 12) $(-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = (-2)^\Box$
• 13) $(-2) \times (-2) \times (-2) = (-2)^\Box$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 5

পেলাম $a$ যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হলে,

$a \times a = a^2$ (বলব $a$-এর বর্গ)

$a \times a \times a = a^3$ (বলব $a$-এর ঘন)

$\Box \times \Box \times \Box \times \Box = a^\Box$

এবং $\Box \times \Box \times \Box \times \Box \times \Box = a^\Box$

3. এবার, নীচের অঙ্কটি দেখি -

$2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2$

$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 = 2^4 \times 5^3$

$7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 5 \times 5 = 7^4 \times 5^2$

পেলাম, $a$ ও $b$ যেকোনো দুটি পূর্ণসংখ্যা হলে,

$a \times a \times a \times b \times b \times b = a^3b^3$ পাই।

অর্থাৎ $(ab)^3 = a \times b \times a \times b \times a \times b$

4. অন্য সংখ্যা নিয়ে মৌলিক সংখ্যার ঘাতের গুণফলের আকারে প্রকাশ করার চেষ্টা করি।

কোন পূর্ণসংখ্যা 1-এর থেকে বড়ো হয় এবং সেই সংখ্যা ছাড়া ওই সংখ্যাটির জন্য কোনো ধনাত্মক উৎপাদক না থাকে তাহলে ওই পূর্ণসংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।

• $100 = 10 \times 10 = 2 \times 5 \times 2 \times 5 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 = 2^2 \times 5^2$
• $36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2$
• $50 = 5 \times \Box$
• $75 = \Box$
• $500 = \Box \times \Box$

নিজে করি – 5.3

নীচের সংখ্যাগুলি মৌলিক সংখ্যার ঘাতের গুণফলের আকারে প্রকাশ করার চেষ্টা করি

• 1) 24
• 2) 56
• 3) 63
• 4) 72
• 5) 200

5. ঘাত আকারে প্রকাশ করা সংখ্যার কোনটি ছোটো বা বড়ো হিসাব করি :

(i) $2^3$ ও $3^2$-এর মধ্যে কে ছোটো ও কে বড়ো দেখি।

$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$

$3^2 = 9$

$\therefore 9 > 8$

$\therefore 3^2 > 2^3$

(ii) $4^3$ ও $3^4$-এর মধ্যে কে ছোটো ও কে বড়ো দেখি।

$4^3 = \Box$

$(3^4) = \Box$

$\Box \Box$ [ফাঁকা ঘরে $>$ বা $<$ বসাই]

নিজে করি – 5.4

ফাঁকা ঘরে সংখ্যা বসাই।

• 1) $5^3 = \Box$
• 2) $2^7 = \Box$
• 3) $125 = 5^\Box$
• 4) $32 = 2^\Box$
• 5) $343 = 7^\Box$
• 6) $121 = \Box$
• 7) $625 = \Box$

অধ্যায় : 5

সূচকের ধারণা

সূচকের ধর্ম খুঁজি

2. $2 \times 2 \times 2 = \Box$

$2^3 \times 2^2 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 = 2^{3+2}$

$2^3 \times 2^3 = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2) = 2^6 = 2^{3+3}$

$2^3 \times 2^4 = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2 \times 2) = 2^7 = 2^{3+4}$

যাচাই করি

• 1) $3^2 \times 3^4 = 3^{2+4}$
• 2) $3^5 \times 3^2 = 3^{5+2}$
• 3) $(-4)^3 \times (-4)^4 = (-4)^{3+4}$

$\therefore$ $a$ যেকোনো একটি পূর্ণসংখ্যা, $m$ ও $n$ যেকোনো দুটি পূর্ণসংখ্যা হলে,

$a^m \times a^n = a^{m+n}$ হবে

আবার $2^5 \div 2^2 = \frac{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}{2 \times 2} = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 2^{5-2}$

$(-5)^7 \div (-5)^2 = \frac{(-5) \times \Box}{(-5) \times \Box} = (-5)^\Box$

$\therefore a$ (শূন্য ছাড়া) যেকোনো পূর্ণসংখ্যা এবং $m$ ও $n$ যে কোনো দুটি পূর্ণসংখ্যা হলে,

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ হবে।

নিজে করি – 5.5

• 1) $2^5 \times 2^7 = \Box$
• 2) $(-3)^8 \times (-3)^{12} = \Box$
• 3) $10^8 \times 10^2 = \Box$
• 4) $2^{15} \div 2^{13} = \Box$
• 5) $9^{15} \div 9^{14} = \Box$
• 6) $11^6 \div 11^4 = \Box$

অন্যরকম ধর্ম খুঁজি

1) $2^0 + 2^1 = 2^5 - 1 = 31$

$2^0 = 1$

$2^1 = 2$

$2^5 - 2^0 = 2^{5-0}$

$\therefore a$ (শূন্য ছাড়া) যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হলে $a^0 = 1$ হবে।

নিজে করি – 5.6

ফাঁকা ঘরে সংখ্যা বসাই:

• 1) $9^2 + 9^2 = \Box$
• 2) $7^3 \div \Box = 1$
• 3) $11^0 = \Box$
• 4) $1 = 13^\Box$
• 5) $1 = (-13)^\Box$
• 6) $3^5 = \Box$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 5

এবার ঘাতের গুণফল আকারে প্রকাশিত সংখ্যার নিধান আলাদা কিন্তু একই সূচকের কী ধর্ম পাই দেখি:

$2^3 \times 3^3 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2 \times 3 \times 2 \times 3 \times 2 \times 3 = (2 \times 3)^3$

$3^1 \times 5^1 = 3 \times 5 = 15^1$

$3^3 \times 5^3 = (3 \times 5)^3$

$= 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 = 15 \times 15 \times 15 = (3 \times 5)^3$

ফাঁকা পূরণ করি :

• (i) $7^3 \times 3^2 = 7 \times 7 \times 3 \times \Box = \Box$
• (ii) $7^3 \times 3^2 = (7 \times 3)^3 = \Box$
• (iii) $(-10)^2 \times 9^4 = (-90)^\Box$
• (iv) $\Box^3 \times \Box^3 = (12)^3$

$\therefore a$ ও $b$ দুটি যে কোনো পূর্ণসংখ্যা এবং $m$ যে কোনো একটি পূর্ণসংখ্যা হলে,

$(a \times b)^m = a^m \times b^m$ হবে

এবার ভাগের নতুন ধর্ম খুঁজি

$\frac{2^2}{3^2} = \frac{2 \times 2}{3 \times 3} = (\frac{2}{3})^2$

$\frac{3^3}{5^3} = \frac{3 \times 3 \times 3}{5 \times 5 \times 5} = (\frac{3}{5})^3$

$\therefore a$ ও $b$ যে কোনো দুটি পূর্ণসংখ্যা [$b \ne 0$] এবং $m$ যে কোনো পূর্ণসংখ্যা হলে,

$(\frac{a}{b})^m = \frac{a^m}{b^m}$ হবে।

নিজে করি – 5.7

• (i) $6^5 \div 2^5 = \Box$
• (ii) $\Box = 7^3 \div 2^3$
• (iii) $10^2 = \Box \div \Box$
• (iv) $(-4)^2 \times 6^2 = \Box$
• (v) $(5)^\Box = \Box$
• (vi) $(\frac{2}{3})^3 = \Box$

আবার $\frac{2^0}{2^1} = 2^{0-1} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

$\frac{2^0}{2^2} = \frac{2 \times 2}{2 \times 2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

$\frac{2^0}{2^5} = \frac{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2} = \frac{1}{2^5}$

$\therefore 2^{2-1} = \frac{2}{1}$

আবার $\frac{3^{-1}}{5^{-1}} = \Box$ [যাচাই করি]

$\frac{1}{5} = \Box$ [যাচাই করি]

$\therefore$ পেলাম, $a$ শূন্য ছাড়া যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হলে $\frac{1}{a^1} = \frac{1}{a}$

অধ্যায় : 5

সূচকের ধারণা

এবার কোনো পূর্ণসংখ্যার সূচকের নতুন ধর্ম খুঁজি:

$(2^3)^2 = 2^3 \times 2^3 = 2^{3+3} = 2^6 = 2^{3 \times 2}$

$(3^2)^3 = 3^2 \times 3^2 \times 3^2 = 3^{2+2+2} = 3^6 = 3^{2 \times 3}$

$(4^3)^2 = \Box \times \Box = 4^{\Box \times \Box} = 4^6$

$(5^4)^3 = \Box \times \Box = \Box \times \Box = 5^\Box$

$\therefore$ $a$ যেকোনো পূর্ণসংখ্যা এবং $m$ ও $n$ দুটি যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হলে,

$(a^m)^n = a^{mn}$ হবে

6. $9 \times 9$-কে 3 -এর ঘাত আকারে বিস্তার করি -

$9 = 3^2$

$9 \times 9 = 3^2 \times 3^2 = 3^{2+2} = 3^4$

7. $16 \times 16 \times 16 \times 16$-কে 4-এর ঘাত আকারে প্রকাশ করি -

$16 = 4 \times 4 = 4^2$

$16 \times 16 \times 16 \times 16 = 4^2 \times 4^2 \times 4^2 \times 4^2 = \Box = 4^8$

8. $16 \times 16 \times 16 \times 16$-কে 2 -এর ঘাত আকারে প্রকাশ করি -

$16 \times 16 \times 16 \times 16 = (2^4)^4 = 2^{16}$

9. সূচকের যেকোনো অঙ্ক কীভাবে সমাধানের পথে এগোব চেষ্টা করে দেখি-

$(i) 2^5 \times 2^7 = 2^{5+7} = 2^{12}$

$(ii) (2^5)^2 = (2^{5 \times 2}) = 2^{10}$

$(2^5)^2 \times (2^5)^4 = (5^4 \times 5^5) = 5^{4+5} = 5^9$

$5^9$

$(25)^2 \times (25)^4 = \frac{25^2 \times 25^4}{25^9} = \frac{25^{2+4}}{25^9} = \frac{25^6}{25^9} = 25^{6-9} = 25^{-3}$

নিজে করি – 5.8

1. $8 \times 8 \times 8 \times 8$-কে 2 -এর ঘাত আকারে প্রকাশ করি।

2. $25 \times 25 \times 25 \times 25 \times 25$-কে 5 -এর ঘাত আকারে প্রকাশ করি।

3. $36 \times 36 \times 36$-কে 6 এর ঘাত আকারে প্রকাশ করি।

4. $81 \times 81$-কে 3 -এর ঘাত আকারে প্রকাশ করি।

5. মান নির্ণয় করি:

• (i) $\frac{2^8}{(6)^5}$
• (ii) $\frac{10^8 \times 10^4}{10^5}$
• (iii) $5^9 \times 5^6$
• (iv) $\frac{6^4 \times 3^8}{3^{12}}$
• (v) $5^2 \times 25^3$
• (vi) $\frac{2^3 \times 3^9}{3^6 \times 2^1}$
• (vii) $(\frac{a^2}{b^3})^2 \times a^2$
• (viii) $\frac{3 \times 7^2 \times 2^4}{21 \times 11^2}$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 5

পৃথিবীর ভর $5,970,000,000,000,000,000,000$ কিগ্রা. $= 5.97 \times 10^{24}$ কিগ্রা.

শুক্রগ্রহের ভর $4,870,000,000,000,000,000,000$ কিগ্রা. $= 4.87 \times 10^{24}$ কিগ্রা.

বৃহস্পতির ভর $330,000,000,000,000,000,000,000$ কিগ্রা. $= 3.3 \times 10^{26}$ কিগ্রা.

পৃথিবী থেকে সূর্যের দূরত্ব = 149600000 কিমি.

পৃথিবী থেকে সূর্যের দূরত্ব সহজে 10-এর ঘাতের মাধ্যমে লেখার চেষ্টা করি:

$149600000 = 14960000 \times 10$

$= 1496000 \times 10^2$

$= 149600 \times 10^3$

$= 1496 \times 10^5$

$= \frac{1496}{100} \times 10^5 \times 100 = 14.96 \times 10^7$

$\therefore$ পৃথিবী থেকে সূর্যের দূরত্ব = $14.96 \times 10^7$ কিমি.

সূর্য থেকে শুক্র গ্রহের দূরত্ব = $108.2 \times 1000000$ কিমি. $= 108.2 \times 10^6$ কিমি.

$\frac{108.2}{100} \times 10^2 \times 10^6$ কিমি. $= 1.082 \times 10^8$ কিমি.

আবার $14.96 > 1.082$ বা $14.96 \div 1.082$

$\therefore$ পৃথিবী ও সূর্যের দূরত্ব, শুক্রগ্রহ ও সূর্যের দূরত্বের চেয়ে বেশি।

কষে দেখি – 5

1. নীচের দূরত্বগুলি 10-এর ঘাততে প্রকাশ করে সহজে বোঝার চেষ্টা করি -

সূর্য থেকে বুধের দূরত্ব 57900000 কিমি.

2. পৃথিবীর থেকে মঙ্গল ও বৃহস্পতির দূরত্ব যথাক্রমে 227900000 কিমি. এবং 778300000 কিমি.

3. ফাঁকা ঘর পূরণ করি-

• (i) পৃথিবী থেকে চাঁদের দূরত্ব $384,000,000$ মিটার = $384 \times 10^\Box$ মিটার
• (ii) শূন্যস্থানে আলোর গতিবেগ $3,00,000$ মিটার / সেকেন্ড = $3 \times \Box$ মিটার / সেকেন্ড

4. নীচের সংখ্যাগুলি 10-এর ঘাতে প্রকাশ করি (দশমিকের পর 1, 2 ও 3 ঘর পর্যন্ত)-

• (i) 978
• (ii) 159217

5. নীচের বিস্তার থেকে সংখ্যাগুলি লিখি –

• i) $3 \times 10^2 + 2 \times 10^2 + 7 \times 10^2$
• ii) $2 \times 10^3 + 3 \times 10^3 + 5$
• iii) $8 \times 10^4 + 2 \times 10^3 + 3 \times 10^2 + 6$
• iv) $9 \times 10^4 + 5 \times 10^3 + 6 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 0 \times 10^0$

6. সরল করি এবং নীচের প্রতীকটিকে ঘাতের আকারে প্রকাশ করি-

• (i) $\frac{2^3 \times 3^5}{3 \times 3^2}$
• (ii) $([6^2] \times 6^3) \div 6^7$
• (iii) $\frac{3^2 \times 7^{10}}{21 \times 110}$
• (iv) $\frac{4^5 \times a^8}{4^3 \times a^b}$ ($a, b \ne 0$)
• (v) $(3^0 + 2^0) \times 5^0$
• (vi) $\frac{2^8 \times x^7}{4^3 \times x^4}$ ($x \ne 0$)

অধ্যায় : 6

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া

6. আমি, তীর্থ ও সায়ান আজ দেশলাই কাঠি দিয়ে নানারকম ত্রিভুজাকার, বর্গাকার ও আয়তাকার চিত্র তৈরি করব।

তাই আমরা অনেকগুলি দেশলাই কাঠি নিয়ে টেবিলে বসেছি। বুলু এবং সাবিনাও আমাদের এই মজার খেলায় যোগ দিল।

4টি কাঠির প্রয়োজন।

তীর্থ করল

$\Box$ টি কাঠির প্রয়োজন।

$\Box$ টি কাঠির প্রয়োজন।

তীর্থ এই কাঠির সংখ্যা থেকে এইরকম যেকোনো সংখ্যা কতগুলি কাঠি প্রয়োজন হিসাব করার চেষ্টা করি।

তীর্থ 1 টি বর্গাকার চিত্রের জন্য $\Box$ টি দেশলাই কাঠির প্রয়োজন।

2 টি বর্গাকার চিত্রের জন্য $4 \times 2 = 8$ টি দেশলাই কাঠির প্রয়োজন।

3 টি বর্গাকার চিত্রের জন্য $4 \times 3 = 12$ টি দেশলাই কাঠির প্রয়োজন।

তাই এইরকম $x$ টি বর্গাকার চিত্রের জন্য $4 \times x$ টি দেশলাই কাঠির প্রয়োজন।

$4x$-এর $x$ $\Box$ সংখ্যা [চল/ধ্রুবক] এবং 4 $\Box$ সংখ্যা [চল/ধ্রুবক]

কিন্তু বুলু একটু অন্যভাবে করল

$\rightarrow (3+1)$ টি কাঠির প্রয়োজন

$\rightarrow (3 \times 2+1)$ টি কাঠির প্রয়োজন

$\rightarrow (3 \times 3+1)$ টি কাঠির প্রয়োজন

বুলুর এই কাঠির সংখ্যা থেকে এইরকম যেকোনো সংখ্যা কতগুলি কাঠি প্রয়োজন হিসাব করার চেষ্টা করি -

বুলুর এইরকম 1 টি বর্গাকার চিত্রের জন্য $(3+1)$ টি = 4 টি কাঠির প্রয়োজন।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 6

কিন্তু 2টি বর্গাকার চিত্রের জন্য $(3 \times 2 + 1) = 7$ টি কাঠির প্রয়োজন।

3টি বর্গাকার চিত্রের জন্য $3 \times 3 + 1 = 10$ টি কাঠির প্রয়োজন।

$x$ টি বর্গাকার চিত্রের জন্য $3 \times x + 1 = (3x+1)$ টি কাঠির প্রয়োজন।

$(3x+1)$ সংখ্যামালায় $x$ $\Box$ [চল/ধ্রুবক], $3$ ও $1$ $\Box$ [চল/ধ্রুবক]

সাবিনা যে ধরনের সজ্জা তৈরি করল

$\rightarrow \Box$ টি কাঠির প্রয়োজন

$\rightarrow \Box$ টি কাঠির প্রয়োজন

$\rightarrow \Box$ টি কাঠির প্রয়োজন

কিন্তু সায়ান করল

$\rightarrow (\Box + \Box)$ টি কাঠির প্রয়োজন

$\rightarrow (\Box \times \Box + \Box)$ টি কাঠির প্রয়োজন

সাবিনা ও সায়ানের কাঠির যেকোনো একটি সংখ্যায় কতগুলি দেশলাই কাঠি প্রয়োজন তার হিসাব করে বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় প্রকাশ করি।

এই যে $4x$, $(3x+1)$ এদের বীজগাণিতিক সংখ্যামালা বলা হয়। $4x$ হল শুধু $x$ চলযুক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালা। $3x+1$ বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় $3x$ একটি পদ ও $1$ অন্য একটি পদ।

নিজে করি – 6.1

আমরা বীজগাণিতিক সংখ্যামালা লিখি ও পদগুলি খুঁজি

4x, 3x + 1, 2x + 1, 6p - 1, 3y + 6.

অধ্যায় : 6

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া

বীজগাণিতিক পদগুলি পদসংখ্যা বীজগাণিতিক সংখ্যামালার প্রকারভেদ চল ধ্রুবকসংখ্যা

বীজগাণিতিক সংখ্যামালা
$4x$

উৎপাদক

বীজগাণিতিক সংখ্যামালা
$3x+1$

উৎপাদক

বীজগাণিতিক সংখ্যামালা
$6p-1$

উৎপাদক

$4x$ বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় ধ্রুবক সংখ্যা 4-এর সাথে চল $x$ গুণ করা হয়েছে। $4x$-এর উৎপাদক 1, 2, 4, $x$, $2x$ ও $4x$।

$4x$-এর পদ 1টি। তাই এই একপদী বীজগাণিতিক সংখ্যামালা।

1. $(3x+1)$-এই বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটিকে উৎপাদক গাছের মতো চিত্র দেখি।

দেখছি, $3x+1$ বীজগাণিতিক সংখ্যামালার দুটি পদ।

তাই $3x+1$ দ্বিপদী বীজগাণিতিক সংখ্যামালা।

2. $(6p-1)$-এই বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটিকে উৎপাদক গাছের মতো চিত্র দেখি।

$6p-1 \Box$ পদী বীজগাণিতিক সংখ্যামালা।

নিজে করি – 6.2

1) $2x+1$, $2y+6$-এই বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি উৎপাদক গাছের মতো চিত্র এঁকে পদ ও উৎপাদকগুলি দেখাই।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 6

এবার তীর্থ অংশগুলি আয়তাকার চিত্র অঙ্কন করল।

6 সেমি.

4 সেমি.

5 সেমি.

11 সেমি.

8 সেমি.

8 সেমি.

ক্ষেত্রফল = $6 \times 4$ বর্গসেমি.

ক্ষেত্রফল = $\Box$ বর্গসেমি.

ক্ষেত্রফল $8 \times 8 = 8^2$ বর্গসেমি.

$\Box \times \Box$ সেমি.

ক্ষেত্রফল $\Box \times y$ বর্গসেমি.

$\Box = xy$ বর্গসেমি.

এখানে দুটি চল $x$ ও $y$

যদি এমন হয় $\Box \rightarrow y$ সেমি.

আবার, দৈর্ঘ্য $2x$ একক এবং প্রস্থ $y$ একক হলে ক্ষেত্রফল $(2x \times y)$ বর্গ একক = $2xy$ বর্গ একক

এখানেও দুটি চল $\Box$ ও $\Box$

বর্গাকার চিত্রের বাহু $x$ সেমি. $\therefore \Box \times \Box$ বর্গসেমি.

$\Box \times \Box$ বর্গসেমি. [ $\therefore 2 \times 2 = 2^2$ ], এখানে চল $\Box$ টি।

এক্ষেত্রে যেহেতু একক আছে যেমন সেমি.,

তাই $xy$ বর্গসেমি., $2xy$ বর্গসেমি., $x^2$ বর্গসেমি. বীজগাণিতিক সংখ্যামালা।

$2 \times 2 \times 2 = 2^3$, তাই $x \times x \times x = x^3$, $x^3$-এর $\Box$ টি।

এখন আমরা নানা নানান বীজগাণিতিক সংখ্যামালা তৈরি করব ও সেই সংখ্যামালার বিভিন্ন দিক নিয়ে আলোচনা করব।

3. $5x^2+y$ কেমন করে পেলাম দেখি-

প্রথমে $x$-এর সাথে $x$ গুণ করে $x^2$ পেয়েছি।

এবার $x^2$-এর সাথে 5 গুণ করে $5x^2$ পেলাম।

তারপর $5x^2$-এর সাথে $y$ যোগ করেছি। $5x^2+y = 5 \times x \times x + y$

$5x^2+y$ বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় দেখছি, পদ 2টি। 5-

চল $x$ ও $y$ এবং ধ্রুবক সংখ্যা 5 ও 1।

কিন্তু $5x^2$-এই বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় $5x^2$-এর সহগ কী বলব? 5-কে $x^2$-এর সহগ বলা হয়।

অধ্যায় : 6

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া

$5x^2$-এর 5 -এর সহগ $x^2$ ও $5x$-এর সহগ $\Box$ এবং $x^2$-এর সহগ $\Box$

4. $2xy^2 + 3y$ কেমন করে পেলাম দেখি।

প্রথমে $x$-এর সাথে $y$ গুণ করে $\Box$ পেয়েছি।

এবার $2, x, y^2$ $\Box$ করে $2xy^2$ পেলাম। 3 ও $y$ গুণ করে $3y$ পেলাম।

এবার $2xy^2$ ও $3y$ যোগ করলাম।

$2xy^2 + 3y = \Box + \Box + \Box$

$2xy^2 + 3y$ বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় $\Box$ টি পদ আছে। তাই এটি $\Box$ পদী। এখানে $x$ ও $y$ [চল/ধ্রুবক]।

$2xy^2$-এ $x$-এর সহগ $2y^2$, $xy^2$-এর সহগ $\Box$ ; $y$-এর সহগ $\Box$ এবং $y^2$-এর সহগ $\Box$

$2$ বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় $xy^2$-এর সহগ $\Box$

5. $(9+x-y)$ এই বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে উৎপাদক গাছের চিত্রের মতো সাজাই ও কী কী পেলাম দেখি -

দেখছি $(9+x-y)$-এর $\Box$ টি পদ আছে,

$\therefore (9+x-y)$ একটি $\Box$ পদী বীজগাণিতিক সংখ্যামালা।

6. কিন্তু $9+x-y$ বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় $x$ ও $y$-এর সহগ কী?

$x = 1 \times x, \therefore x$-এর সহগ $\Box$

$-y = \Box \times y, \therefore y$-এর সহগ $\Box$

নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালা দেখি ও শূন্য ফাঁকা ঘরে লিখি –

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 6

$2x + 3y + 4z + 7p + 5q + 6r$ এরকম অনেকগুলো পদ বিশিষ্ট বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে কী বলব?

এদের বহু-পদী বীজগাণিতিক সংখ্যামালা বলে।

তাহলে একপদী, দ্বিপদী বা ত্রিপদী বীজগাণিতিক সংখ্যামালা নয়?

প্রত্যেকেই বহু-পদী সংখ্যামালা। কিন্তু পদ অনুযায়ী আলাদা আলাদা নাম বলা হয়।

বীজগাণিতিক সংখ্যামালার পদগুলির উৎপাদক বিশ্লেষণ করি ও তাদের মধ্যে সহগ খুঁজি।

তুলি ও রশি ঠিক করেছে তারা তাদের জানা বীজগাণিতিক সংখ্যামালা ব্ল্যাকবোর্ডে লিখবে।

তারা লিখল-

আমরা এই বীজগাণিতিক সংখ্যামালার পদগুলিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি।

$8x = 2 \times 2 \times 2 \times x$

$12xy = 2 \times 2 \times 3 \times x \times y$

$3x^2y = 3 \times x \times x \times y$

$9y^2 = 3 \times \Box \times \Box \times y \times y$

$2xyz = 2 \times x \times y \times z$

$2xy^2 = 2 \times \Box \times \Box \times \Box$

$3x^2 = 3 \times \Box \times \Box$

বাকীগুলির উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিজে করি।

দেখছি, উপরের কিছু বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় একজাতীয় পদ আছে। যেমন $8x$ ও $3x$ বা $9y^2$ ও $2y^2$। এই ধরনের বীজগাণিতিক পদগুলিকে সদৃশ পদ বলা হয়। কিন্তু বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় ভিন্ন জাতীয় পদ আছে যেমন $8x$, $12y$। এই ধরনের বীজগাণিতিক পদগুলিকে কী বলব?

দুই বা দুইয়ের বেশি পদযুক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় একজাতীয় পদগুলিকে সদৃশ পদ এবং ভিন্ন জাতীয় পদগুলিকে অসদৃশ পদ বলা হয়।

যেমন - $2xyz$ ও $11xyz$ পরস্পর সদৃশ পদ। আবার $8x$ ও $12xy$ পরস্পর অসদৃশ পদ।

অধ্যায় : 6

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া

হাতেকলমে কাগজ কেটে বর্গাকার ও আয়তাকার রঙিন কাগজের সাহায্যে বীজগাণিতিক সংখ্যামালা $3x^2 + 4x + 6$ (ii) $2x^2 - x - 3$ লিখি।

• (1) প্রথমে অনেকগুলি পিচবোর্ডের বর্গক্ষেত্রাকার ও আয়তাকার টুকরো তৈরি করলাম।
• 2 সেমি. দৈর্ঘ্য ও 2 সেমি. প্রস্থের কিছু বর্গাকার পিচবোর্ডের কার্ডলাম।
• 2 সেমি. দৈর্ঘ্য ও 1 সেমি. প্রস্থের কিছু আয়তক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডের কার্ডলাম।
• 1 সেমি. দৈর্ঘ্য ও 1 সেমি. প্রস্থের কিছু বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডের কার্ডলাম।
• (2) 2 সেমি. $\times$ 2 সেমি. বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডের একদিকে নীল রঙ ও অন্যদিকে লাল রঙের কাগজ আটকিয়ে দিলাম।
• 2 সেমি. $\times$ 1 সেমি. আয়তক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডের একদিকে নীল রঙ ও অন্যদিকে লাল রঙের কাগজ আটকিয়ে দিলাম।
• 1 সেমি. $\times$ 1 সেমি. বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডের একদিকে নীল রঙ ও অন্যদিকে লাল রঙের কাগজ আটকিয়ে দিলাম।

নীচের ছবির মতো অনেকগুলি বর্গাকার ও আয়তাকার নীল রঙের পিচবোর্ডের কার্ড তৈরি করলাম।

ধরি, 1 টি $2 \times 2$ নীল বর্গক্ষেত্রাকার কার্ড $\rightarrow x^2$, 1 টি $2 \times 1$ নীল আয়তক্ষেত্রাকার কার্ড $\rightarrow x$ ও 1 টি $1 \times 1$ নীল বর্গক্ষেত্রাকার কার্ড $\rightarrow 1$ আবার 1 টি $2 \times 2$ লাল বর্গক্ষেত্রাকার কার্ড $\rightarrow (-x^2)$, 1 টি $2 \times 1$ লাল আয়তক্ষেত্রাকার কার্ড $\rightarrow (-x)$ ও 1 টি $1 \times 1$ লাল বর্গক্ষেত্রাকার কার্ড $\rightarrow -1$

(3) এই রঙিন পিচবোর্ডের টুকরোগুলি দিয়ে $(3x^2 + 4x + 6)$ সাজাই।

$x$   $x$   $x$   $x$   $1$   $1$   $1$

$3x^2$       $4x$       $+6$

(4) এই রঙিন পিচবোর্ডের টুকরোগুলি দিয়ে $(2x^2 - x - 3)$ সাজাই।

$2x^2$       $-x$       $-3$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 6

দুটি ভিন্ন দুই বা দুইয়ের বেশি বীজগাণিতিক সংখ্যামালা দেওয়া আছে। তাদের পদগুলি মধ্যে সম্পর্ক খুঁজি -

কষে দেখি – 6.1

1. বীজগাণিতিক সংখ্যামালা তৈরি করি।

• (a) $x$-এর সঙ্গে $y$ যোগ।
• (b) $z$ থেকে $x$ বিয়োগ।
• (c) $p$-এর দ্বিগুণের সঙ্গে $q$ যোগ।
• (d) $x$-এর বর্গের সঙ্গে $y$ গুণ।
• (e) $x$ ও $y$-এর যোগফলের $\frac{1}{4}$ অংশ।
• (f) $a$ ও $b$-এর গুণফলের 4 গুণের সঙ্গে 7 যোগ করলাম।
• (g) $x$-এর দ্বিগুণের সঙ্গে $y$-এর অর্ধেক যোগ।
• (h) $x$ ও $y$-এর সমষ্টি থেকে $x$ ও $y$-এর গুণফল বিয়োগ।

2. নীচের দেশলাই কাঠির প্যাটার্ন দেখি ও ছক লিখি।

অধ্যায় : 6

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া

এবার চল দিয়ে সাধারণ নিয়মটি তৈরি করি।

ট্রাপিজিয়ামের সংখ্যা   1   2   3   4   5   6   .......

দেশলাই কাঠির সংখ্যা   5   9   $\Box$   $\Box$   $\Box$   $\Box$

এবার চল দিয়ে সাধারণ নিয়ম তৈরি করি।

নিচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি উৎপাদক গাছের চিত্রের আকারে সাজিয়ে প্রত্যেকটি পদের মৌলিক উৎপাদকগুলি দেখাই ও তারা কতপদী সংখ্যা তা লিখি।

• (a) $5x$
• (b) $7+2x+x^2$
• (c) $x^2+x+1$
• (d) $2x^2y+7$
• (e) $2y^3+y$
• (f) $x^2y+xy^2+xyz$
• (g) $xy+2x^2y^2$
• (h) $5x+2y$

4. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় ধ্রুবক ছাড়া অন্য পদগুলির সাংখ্যিক সহগ (Numerical co-efficient) লিখি।

• (a) $2x+3y$
• (b) $x^2+2x+5$
• (c) $x+5xy-7y$
• (d) $-5-z$
• (e) $x^3+x-y$
• (f) $\frac{x}{2}+4$

5. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় $x$ উৎপাদকযুক্ত পদের বা পদগুলির $x$-এর সহগ লিখি।

$(a) yx^2+y^2(b)15z^2-8zx (c) -x-y+2 (d)4+yx (e)2+x+y^2 (f)15xy^4-14$

6. নীচের বীজগাণিতিক পদগুলি সদৃশ পদগুলি আলাদা আলাদা ঘরে লিখি।

$2x, y, 12xy, 13y^2, -5x, 18y, -4xy, -2y^2, 21x^2y, 3x, 3xy, -y, -x, -6x^2, -15x^2$

7. নীচের জোড়া পদগুলি মধ্যের মধ্যে কোনগুলি সদৃশপদ ও কোনগুলি অসদৃশপদ তা যুক্তি দিয়ে লিখি।

(a) $2x, 3y$, (b) $7x, 8x$, (c) $-29x, 6x$

(d) $4xy, 6yz$

(e) $-15yx, 8xy$

(f) $5xy, 6xy^2$

8. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় যে পদটিতে $x^2$ পদ আছে সেটি লিখি এবং $x^2$-এর সহগ লিখি।

• (a) $xy - 5y^2$
• (b) $6x^2 - 8y$
• (c) $3x^2 - 15xy^2 - 8y^2$
• (d) $2 + 3x^2y + 4x$
• (e) $5 - 6x^2y^2 + 6xy$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 6

বাজারে যাই

7. আজ আমি ও দাদা বাজারে সবজিজ কিনতে যাব। আমরা প্রথমে 1 কিগ্রা. আলু ও 1 কিগ্রা. টম্যাটো কিনব।

1 কিগ্রা. টম্যাটোর দাম, 1 কিগ্রা আলুর চেয়ে 25 টাকা বেশি। যদি 1 কিগ্রা. আলুর দাম $x$ টাকা হয়, তবে 1 কিগ্রা. টম্যাটোর দাম কত টাকা হবে হিসাব করি।

ধরি, 1 কিগ্রা. আলুর দাম $x$ টাকা।

$\therefore$ 1 কিগ্রা. টম্যাটোর দাম $(x+25)$ টাকা।

আমাদের 1 কিগ্রা আলু ও 1 কিগ্রা. টম্যাটো কিনতে মোট খরচ = $x$ টাকা + $(x+25)$ টাকা = $(x+x+25)$ টাকা

$(x+x+25)$ কে কীভাবে যোগ করব?

দুটি $x$ যোগ করে $2x$ পাব। $x+x = 1 \times x + 1 \times x = (1+1) \times x$ (বিচ্ছেদ নিয়ম অনুসারে) $= 2x = 2x$।

তাই, $(x+x+25)$ টাকা = $(2x+25)$ টাকা।

সুতরাং, 1 কিগ্রা. আলু ও 1 কিগ্রা. টম্যাটো কিনতে মোট খরচ পড়বে = $(2x+25)$ টাকা।

8. 1 কিগ্রা. গাজর ও 1 কিগ্রা. বাঁধাকপির দাম 1 কিগ্রা. গাজরের দাম, 1 কিগ্রা. আলুর দামের চেয়ে 30 টাকা বেশি হয়, তবে মোট কত টাকা খরচ হবে হিসাব করি।

1 কিগ্রা. আলুর দাম $x$ টাকা।

1 কিগ্রা. গাজরের দাম হবে $(x + \Box)$ টাকা।

সেক্ষেত্রে 1 কিগ্রা. আলু, 1 কিগ্রা. টম্যাটো ও 1 কিগ্রা. গাজর কিনতে মোট খরচ হবে।

$= (2x+25) + (x+30)$ টাকা

9. আমি $(2x+25)$ ও $(x+30)$ যোগ করি।

$2x$ ও $x$ আছে অর্থাৎ 2টি $x$ ও 1টি $x$ মিলে হবে $3x$ $[2x+x = 2 \times x + 1 \times x = (2+1) \times x$ (বিচ্ছেদ নিয়ম অনুসারে) $= 3x]$

অধ্যায় : 6

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া

আবার ধ্রুবক ($x$ বর্জিত পদ) 25 ও 30 যোগ করে পাব $25+30 = \Box$

সুতরাং পেলাম, $2x+x+25+30$

$= (2x+x) + (25+30)$

$= (3x + 55)$

$\therefore$ এক্ষেত্রে আমাদের $(3x+55)$ টাকা নিয়ে বাজারে যেতে হবে।

দেখছি, বীজগাণিতিক সংখ্যামালা $(2x+25)$ ও $(x+30)$ যোগ করার সময়,

সদৃশ পদগুলি পাশাপাশি লিখে যোগ করব।

তারপর অসদৃশ পদগুলির মধ্যে যোগ চিহ্ন দিয়ে যোগফল পাব।

10. বাজারে সাইকেল টেপে গেলাম। সাইকেল জমা রাখার স্ট্যান্ডে গিয়ে দেখি অনেক সাইকেল রাখা আছে। এই দোকানে সাইকেলের মোট চার্জার সংখ্যা কত হতে পারে দেখি।

ধরি, সাইকেলের সংখ্যা $x$

1টি সাইকেলের 2টি চার্জার।

$x$টি সাইকেলের $2 \times x = 2x$ টি চার্জার।

কিন্তু দূরে অনেক রিকশা সারি দিয়ে দাঁড়িয়ে আছে।

$\Box$ টি রিকশার $\Box$ টি চার্জার।

$y$টি রিকশার $3 \times y = 3y$ টি চার্জার।

তাহলে, $x$টি সাইকেল ও $y$টি রিকশার মোট চার্জার সংখ্যা = $(\Box + \Box)$ টি

$= (2x + 3y)$ টি

দেখছি, $2x$ ও $3y$ $\Box$ পদ [সদৃশ/অসদৃশ]

কিন্তু $2x$ ও $3y$ যোগ করে কী পাব?

$2x$ ও $3y$ অসদৃশ পদ। তাই $2x$ ও $3y$ যোগ করে পাব $2x+3y$

11. বাজার থেকে বাড়ি ফিরে আমরা ঠিক করলাম, দাদা দুটি বা দুটির বেশি বীজগাণিতিক সংখ্যামালা লিখবে, আর আমি সেগুলি যোগ করার চেষ্টা করব।

দাদা লিখল, $2x, 3x, 11x$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 6

$2x, 3x$ ও $11x$ যোগ করে পাই, $2x + 3x + 11x$

$= 2 \times x + 3 \times x + 11 \times x$

$= (2 + 3 + 11) \times x$ [বিচ্ছেদ নিয়ম অনুযায়ী]

$= 16x$

12. দাদা লিখল, $-3x, -10x, -2x$

আমি যোগ করি,

$(-3x) + (-10x) + (-2x)$

$= (-3 - 10)x + (-2)x$

$= (-13x) + (-2x) = (-13 - 2)x = -15x$

13. আমি $(2x+3y) + (3x+y)$-এর মান খুঁজি।

$(2x+3y) + (3x+y)$

$= (2x+3x) + (3y+y)$ [সদৃশ পদগুলি আলাদা করলাম]

$= 5x+4y$

14. এবার $5x$ থেকে $2x$ বিয়োগ করি।

অর্থাৎ $5x-2x$

$= (5 \times x) - (2 \times x)$

$= (5-2) \times x$

$= 3x$

15. এবার $\{(-9a) + (-2a) + 5a\}$ যোগ করি।

$(-9a) + (-2a) + 5a$

$= (-9-2)a + 5a$

$= -11a + 5a$

$= (-11+5)a$

$= -6a$

অধ্যায় : 6

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া

16. $(5x^2+3x+2)$ এবং $(x^2-2x+1)$ যোগ করি।

$(5x^2+3x+2) + (x^2-2x+1)$

$= 5x^2 + 3x + 2 + x^2 - 2x + 1$

$= 5x^2 + \Box + 3x - \Box + 2 + 1$

$= 6x^2 + x + 3$

17. $(2a+3b-5)$ থেকে $(b+a)$ বিয়োগ করার চেষ্টা করি।

$(2a+3b-5) - (b+a)$

$= 2a+3b-5 - b - a$

$= 2a - a + 3b - b - 5$

$= \Box + \Box - 5$

হাতেকলমে

কাগজ কেটে $(2x^2+3x+5)$ ও $(3x^2+4x+6)$ কত হয় দেখি।

(1) প্রথমে অনেকগুলি পিচবোর্ডের বর্গক্ষেত্রাকার ও আয়তক্ষেত্রাকার টুকরো তৈরি করলাম।

2 সেমি. দৈর্ঘ্য ও 2 সেমি. প্রস্থের বর্গাকার, 2 সেমি. $\times$ 1 সেমি. মাপের আয়তক্ষেত্রাকার ও 1 সেমি. $\times$ 1 সেমি. মাপের বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ড কাটলাম।

(2) 2 সেমি. $\times$ 2 সেমি. বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডের একদিকে নীল রঙ ও অন্যদিকে লাল রঙ লাগিয়ে দিলাম।

2 সেমি. $\times$ 1 সেমি. আয়তক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডের একদিকে নীল রঙ ও অন্যদিকে লাল রঙ লাগিয়ে দিলাম।

1 সেমি. $\times$ 1 সেমি. বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডের একদিকে নীল রঙ ও অন্যদিকে লাল রঙ লাগিয়ে দিলাম।

পরের পৃষ্ঠার ছবির মতো অনেকগুলি বর্গক্ষেত্রাকার ও আয়তক্ষেত্রাকার সবুজ, নীল ও লাল পিচবোর্ডের কার্ড তৈরি করলাম।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 6

ধরি, 1টি সবুজ বর্গক্ষেত্রাকার কার্ড $x^2$, 1টি নীল আয়তক্ষেত্রাকার কার্ড $x$ ও 1টি লাল বর্গক্ষেত্রাকার কার্ড 1।

$x$   $x$   $x$   $x$   $1$

(2) এই রঙিন পিচবোর্ডের টুকরোগুলি দিয়ে $(2x^2 + 3x + 5)$ সাজাই।

$2x^2$       $+3x$       $+5$

(3) এই পিচবোর্ডের রঙিন টুকরোগুলি দিয়ে $(3x^2 + 4x + 6)$ সাজাই

$3x^2$       $+4x$       $+6$

(4) এবার উপর দুটি বীজগাণিতিক সংখ্যামালা যোগ করি।

$2x^2 + 3x + 5$ ও $3x^2 + 4x + 6$-এ পাওয়া কাগজগুলোর টুকরোগুলি মিলিয়ে দিয়ে কী পাই দেখি -

$5x^2$       $+7x$       $+11$

(5) রঙিন পিচবোর্ডের টুকরোগুলি গুনে দেখি। $\Box$ টি সবুজ বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ড, $\Box$ টি নীল আয়তক্ষেত্রাকার পিচবোর্ড ও $\Box$ টি লাল বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ড পেলাম। এই রঙিন বর্গক্ষেত্রাকার ও আয়তক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডগুলি যে বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে বোঝাচ্ছে তা হলো $5x^2 + 7x + 11$

এভাবে যেকোনো এক চল সংখ্যাযুক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালার যোগ পিচবোর্ডের রঙিন কাগজ দিয়ে হাতেকলমে করতে পারি।

অধ্যায় : 6

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া

রঙিন পিচবোর্ডের বর্গক্ষেত্রাকার ও আয়তক্ষেত্রাকার টুকরো দিয়ে হাতেকলমে বীজগাণিতিক সংখ্যামালা বিয়োগ করা চেষ্টা করব।

$(3x^2 + 2x - 4) - (x^2 - x + 3)$ কত হয় দেখি।

(1) প্রথমে অনেকগুলি 2 সেমি. $\times$ 2 সেমি. মাপের বর্গক্ষেত্রাকার, 2 সেমি. $\times$ 1 সেমি. মাপের আয়তক্ষেত্রাকার ও 1 সেমি. $\times$ 1 সেমি. মাপের বর্গক্ষেত্রাকার কার্ড তৈরি করলাম।

(2) এই পিচবোর্ডের বর্গক্ষেত্রাকার ও আয়তাকার কার্ডগুলো একদিকে নীল ও উলটো দিকে লাল কাগজ আটকিয়ে দিলাম।

একদিকে নীল

উলটো দিকে লাল

• 2 সেমি. $\times$ 2 সেমি. বর্গক্ষেত্রাকার কার্ডের (1) নীল দিক $\rightarrow x^2$   (2) লাল দিক $\rightarrow -x^2$
• 2 সেমি. $\times$ 1 সেমি. আয়তক্ষেত্রাকার কার্ডের (1) নীল দিক $\rightarrow x$   (2) লাল দিক $\rightarrow -x$
• 1 সেমি. $\times$ 1 সেমি. বর্গক্ষেত্রাকার কার্ডের (1) নীল দিক $\rightarrow 1$   (2) লাল দিক $\rightarrow -1$

(4) $(3x^2 + 2x - 4)$ বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে কার্ডের মাধ্যমে প্রকাশ করি।

$3x^2$       $+2x$       $-4$

(5) $(x^2 - x + 3)$ বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে কার্ডের মাধ্যমে প্রকাশ করি।

$x^2$       $-x$       $+3$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 6

(6) এবার বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে $(x^2 - x + 3)$ থেকে $(3x^2 + 2x - 4)$ বিয়োগ করার জন্য $(x^2 - x + 3)$-এই বীজগাণিতিক সংখ্যামালার কার্ডকে উলটে দিয়ে মিলিয়ে দিলাম।

$\rightarrow (3x^2+2x-4)$

$\rightarrow (x^2-x+3)$-এর বিপরীত

$(-x^2+x-3)$

মিলিয়ে পেলাম,

$2x^2$       $+3x$       $-7$

দুটি একই মাপের 1টি নীল ও 1টি লাল কার্ড নিলে কিছু রইল না অর্থাৎ 0 (শূন্য) হলো।

তাই হাতেকলমে পেলাম $(3x^2+2x-4) - (x^2-x+3) = 2x^2 + 3x - 7$

এভাবে বীজগাণিতিক সংখ্যামালার বিয়োগ হাতেকলমে করা যাবে।

নিজে করি – 6.3

1) বীজগাণিতিক সংখ্যামালা $(2x^2 + x + 2)$ ও $(x^2 + 2x + 2)$ হাতেকলমে রঙিন কার্ড দিয়ে যোগ করি।

2) বীজগাণিতিক সংখ্যামালা $(5x^2 - 2x - 3)$ থেকে $(3x^2 + 3x - 2)$ হাতেকলমে রঙিন কার্ড দিয়ে বিয়োগ করি।

অন্যভাবে বীজগাণিতিক সংখ্যামালার যোগ ও বিয়োগ করার চেষ্টা করি।

18. $(5x+2y)$ ও $(6x+19y)$ যোগ করি।

$5x + 2y + 6x + 19y$

$= 5x + 6x + \Box$

$= \Box + 21y$

অধ্যায় : 6

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া

আমরা আগে উপরে নীচে সংখ্যা বসিয়ে যোগ করেছি। বীজগাণিতিক সংখ্যামালার যোগ বিয়োগও যদি উপরে নীচে পদ বসিয়ে করতে পারব?

বীজগাণিতিক সংখ্যামালার যোগ ও বিয়োগও উপরে নীচে পদ বসিয়ে করা যায়। সেক্ষেত্রে যেকোনো পদের নীচে তার সদৃশ পদ বসানো হয়।

$5x+2y$
$6x+19y$
_______
যোগ করি, $11x+21y$

19. এবার $(2x-y+3)$ ও $(8y-x-1)$ যোগ করি।

$(2x-y+3) + (8y-x-1)$

$= 2x-y+3 + 8y-x-1$

$= 2x-x - y + 8y + 3 - 1$

$= \Box + \Box + \Box$

20. আমি $(7x - 3y + 2z + 3)$ ও $(2x^2 + 5x - 4z + 1)$ যোগ করি।

$(7x - 3y + 2z + 3) + (2x^2 + 5x - 4z + 1)$

$= 7x + 5x + 2x^2 - 3y + 2z - 4z + 3 + 1$

$= 12x + 2x^2 - 3y - 2z + 4$

যোগ করি, $2x^2 + 12x - 3y - 2z + 4$

21. $(7x+3y)$ থেকে $(2x+5y)$ পাশাপাশি এবং উপরে নীচে পদ বসিয়ে কীভাবে বিয়োগ করব দেখি।

$(7x+3y) - (2x+5y)$

$= 7x + 3y - 2x - 5y$

$= 7x - 2x + 3y - 5y$

$= 5x + (-2y)$

$= 5x - 2y$

দেখছি, বিয়োগ করা বলতে বিপরীত সংখ্যার যোগ করা বোঝায়।

অর্থাৎ $7x$ থেকে $2x$ বিয়োগ করা বলতে $7x$-এর সাথে $2x$-এর বিপরীত সংখ্যা অর্থাৎ $-2x$-এর যোগ করা বোঝায়।

$3y$ থেকে $5y$ বিয়োগ করা বলতে $3y$-এর সাথে $\Box$ এর যোগ বোঝায়। [নিজে করি]

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 6

22. $(-9a+6b)$ থেকে $(7a-10b+c)$ বিয়োগ করার চেষ্টা করি।

$(-9a+6b) - (7a-10b+c)$

$= -9a+6b - 7a+10b-c$

$= (-9a-7a) + (6b+10b) - c$

$= -16a + 16b - c$

23. $(2x^2-5xy+9y^2)$ থেকে $(3y^2-9yz+z^2)$ বিয়োগ করে বিয়োগফল কী হিসাব করে দেখি।

$(2x^2-5xy+9y^2) - (3y^2-9yz+z^2)$

$= 2x^2-5xy+9y^2-3y^2+9yz-z^2$

$= 2x^2-5xy+6y^2+9yz-z^2$

নিজে করি – 6.4

1) যোগ করি :

• (i) $(-5x+3y)$ ও $(18x-15y)$
• (ii) $(7a-8b+2c)$ ও $(2a+3b-d)$

2) বিয়োগ করি :

• (i) $(4mn+n)$ থেকে $(-mn+n)$
• (ii) $(p^2+q^2-pq+p^2q)$ থেকে $(2q^2+3p^2-qp+pq^2)$

1. মনে মনে হিসাব করি:

• (i) $5x+3x$
• (ii) $9y-3y$
• (iii) $-4y+7y$
• (iv) $-10x-2x$
• (v) $3a+4a-2a$
• (vi) $-7x-2x+5x$
• (vii) $6p-2p+3p$
• (viii) $4x^2-2x^2+3x^2$
• (ix) $5a^2b-2a^2b-3a^2b+8a^2b$
• (x) $3x^2-6x^2-x^2+6x^2$

2. (a) আমার বয়স $x$ বছর। পল্লবী আমার থেকে 2 বছরের বড়ো। আমাদের দুজনের মোট বয়স হিসাব করি।

(b) আজ আমি $x$ টি ফুলের মালা গেঁথেছি। মীর আমার গাঁথা মালার সংখ্যার দ্বিগুণের থেকে 6টি বেশি মালা গেঁথেছে। আমি ও মীর দুজনে মোট কতগুলি ফুলের মালা গেঁথেছি হিসাব করি।

অধ্যায় : 6

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া

(c) রাতুল আজকে $x$ টাকার পেয়ারা, $(x+15)$ টাকার আপেল, $(2x+3)$ টাকার শশা কিনল। রাতুল আজকে মোট কত টাকার ফল কিনল হিসাব করি।

(d) গতবছরে ফিজোর ক্লাসে $x$ জন উপস্থিত ছিল। ফিজোর বন্ধু মোহাম্মদী $(3x+13)$ দিন স্কুলে উপস্থিত ছিল। গতবছরে স্কুল মোহাম্মদের উপস্থিতি ফিজোর চেয়ে কত বেশি ছিল হিসাব করি।

(e) দীপুনা আজ $(2x+19)$ টি কাগজ বিক্রি করেছে। কিন্তু গতকাল সে $(5x-8)$ টি কাগজ বিক্রি করেছিল। দীপুনা আজকের তুলনায় গতকাল কত বেশি কাগজ বিক্রি করেছিল হিসাব করি।

(f) পরেশবাবু প্রতি মাসে $8x$ টাকা আয় করেন। কিন্তু প্রতি মাসে তিনি $(3x-15)$ টাকা ব্যয় করেন। তিনি প্রতিমাসে কত টাকা সঞ্চয় করেন হিসাব করি।

3. যোগ করি

• (i) $3a+b; 2a+4b; 5a-b$
• (ii) $5a-4; 2a+3; 2a-4$
• (iii) $6a^2+7a+3; 9a^2-2a+7; 4a^2-2a+9$
• (iv) $2a^2b+5b^2a+7; 3a^2b-2b^2a+6; 8a^2b-b^2a+9$
• (v) $4xy+5x+7y; -4xy-y-3xy; 3xy-y+2x$

4. বিয়োগ করি

• (i) $(8x+6y)$ থেকে $(2x+3y)$
• (ii) $(-3m^2+2)$ থেকে $(m^2-2)$
• (iii) $(2x+3y)$ থেকে $(8x+4y+7)$
• (iv) $(-9a^2+3m+2c)$ থেকে $(5a^2+2a-1)$
• (v) $x$ থেকে $(-2x^2+3y^2)$
• (vi) $3x^2+5xy$ থেকে $2x^2+xy+3y^2$

5. সরল করি

• (a) $17x^2y-3y^2+14x^2y^2$
• (b) $-5b+18a+6b-2a$
• (c) $4m^2+3n^2-(6m^2+7n^2)$
• (d) $a-b-(b-a)$
• (e) $(6p-4q+2r) + (2p+3q-4r)$
• (f) $-x+y+z-(2x-3y+z)$
• (g) $x^2(x-2x) + (x^2-x)(x-5) + (x-2)(x-3)$

6. রামুর $(13x^2+x-3)$ টাকা ছিল। সে $(4x^2-3x-12)$ টাকা খরচ করল। এখন হিসাব করে দেখি তার কাছে আর কত টাকা আছে।

7. একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $(x+4)$ সেমি., $(2x+1)$ সেমি. ও $(4x-8)$ সেমি.। এই ত্রিভুজের পরিসীমা কত তা হিসাব করে দেখি।

8. $-8x^2+8x-1$ এর সাথে কত যোগ করলে $-14x^2+11x-3$ পাব হিসাব করি।

9. $-11x-7y-9z$-থেকে কত বিয়োগ করলে $-7x+3y-5z$ পাব হিসাব করি।

10. $3x+4y$ ও $(5x^2-x)$ এর যোগফল $(3x-5x^2)$ -এর থেকে কত বেশি হিসাব করি।

11. $(5+9x)$ এবং $(6-7x+4x^2)$ এর যোগফল থেকে $(-2x^2+3x+5)$ এর যোগফল বিয়োগ করি।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 6

কাঠির সজ্জা দেখি

1      2      3

দেখছি $n$ সংখ্যক বর্গাকার চিত্রের জন্য কাঠি লাগবে $4n$ টি

$= 4n$ টি

যখন, $n=5$ অর্থাৎ 5টি বর্গাকার চিত্রের জন্য প্রয়োজনীয় কাঠির সংখ্যা = $4 \times \Box = \Box$ টি

কিন্তু $n=100$ হলে অর্থাৎ 100 টি বর্গাকার চিত্রের জন্য প্রয়োজনীয় কাঠির সংখ্যা = $\Box \times \Box = \Box$ টি

আকারের সংখ্যা

$x$ সংখ্যা। $\Box$ কাঠির জন্য মোট দেশলাই কাঠি লাগবে $(2x+1)$ টি।

$x=6$ বসিয়ে 6 টি। $\therefore$ আকারের কাঠির জন্য প্রয়োজনীয় কাঠির সংখ্যা = $(2 \times 6 + 1)$ টি = 13 টি

$x=15$ বসিয়ে পাই $(2 \times \Box + \Box)$ টি

24. $5x+13$ এই বীজগাণিতিক সংখ্যামালার মান খুঁজি যখন $x=-2$

$5 \times (-2) + 13 = -10 + 13 = 3$

25. $(31-5x^2)$ এই বীজগাণিতিক সংখ্যামালার মান খুঁজি যখন $x=2$ ও 5

প্রথমে $31-5x^2$ বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় $x = 2$ বসাই।

$31 - 5 \times 2^2 = 31 - 5 \times 4 = 31 - 20 = 11$

অধ্যায় : 6

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া

আমি $31-5x^2$ এই বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় $x=-2$ বসাই।

$31-5x^2$

$= 31 - 5 \times (-2)^2$

$= 31 - 5 \times (4)$

$= 31 - 20$

$= 11$

দেখছি $x$-এর মান 2 বসালে $x^2$-এর মান যা হয়, আবার $x$-এর মান -2 বসালেও $x^2$ এর মান একই থাকে।

তাই, যেকোনো ধনাত্মক বা ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গ সর্বদাই $\Box$।

26. $(7x-2)$ এই বীজগাণিতিক সংখ্যামালার মান খুঁজি যখন $x=-2$

$7x-2 = 7 \times (-2) - 2$

$= -14 - 2$

$= -16$

27. $12a^2+2ab+b^2$ ও $(a^2-b^2)$-এর মান খুঁজি যখন $a=1, b=3$

$12a^2+2ab+b^2$

$= 12 \times (1)^2 + 2 \times (1) \times (3) + (3)^2$

$= 12+6+9 = 27$

$a^2-b^2 = (1)^2 - (3)^2$

$= 1-9 = -8$

$= -26$

নিজে করি – 6.5

1) $x=5$ হলে নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলির মান বের করি।

• (i) $6x+11$
• (ii) $\frac{x}{2}+2$
• (iii) $x^2+2x-1$
• (iv) $x^2+8$
• (v) $10-x$

2) $y=3$ হলে নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলির মান বের করি।

• (i) $y+5$
• (ii) $5-y$
• (iii) $y+8$
• (iv) $y^2+2y+3$
• (v) $y^3-1$

3) নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলির মান খুঁজি যখন $x=2$ ও $y=-1$

• (i) $2x+7y$
• (ii) $x^2+y^2$
• (iii) $x^2+7xy+y^2$
• (iv) $x^3-8y^3$
• (v) $\frac{x}{y}+4$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 6

বোতামের সজ্জা

আমি ও মেধা দুজনে আজ অনেক বোতাম নানারকমভাবে সাজাবো এবং পাশে স্তম্ভ ও সারিতে পাওয়া বোতাম সংখ্যা লিখছি।

আমি করলাম

$4 \times 5$ টি = 20 টি

এই সজ্জা দেখি

যদি সারিতে $n$ টি বোতাম থাকে।

উভয় সারিতে $(n-3)$ টি বোতাম আছে।

$7 \times n = \Box$ টি

রেহা করল

$= \Box$ টি

আমি করলাম

$= 4^2 \text{ টি} = 16 \text{ টি}$

এই সজ্জা দেখি

$7 \times n$-এর মান কী পাব?

$7 \times n = n+n+n+n+n+n+n = 7n$

বুঝেছি, $5 \times n = n+n+n+n+n = 5n$

$2 \times n = 2n$

এই সজ্জা দেখি

$= \Box$ টি

m

$= m \times m$ টি = $\Box$ টি

n+3

$(m+2) \times (n+3)$ টি = $\Box$ টি

অধ্যায় : 6

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া

আমাদের সায়ান আরও 4 জন বন্ধু এই মজার খেলায় যোগ দিল। আমি সকলের জন্য লজেন্স হিসাব ঠিক করলাম।

এখন আমরা মোট $(\Box + \Box)$ জন = $\Box$ জন

28. 6 জনের জন্য লজেন্স কিনব। মোট কতকাটা লাগবে হিসাব করি।

ধরি, 1 টি লজেন্সের দাম $x$ টাকা।

সেক্ষেত্রে 6 টি লজেন্সের দাম হবে $6x$ টাকা

= $\Box$ টাকা। $\therefore$ $6x$ টাকা লাগবে

কিন্তু একটি লজেন্সের দাম $(x-2)$ টাকা হলে (যেখানে $x > 2$) 6টি লজেন্স কিনতে কত টাকা লাগবে হিসাব করি।

6 টি লজেন্সের দাম হবে $6 \times (x-2)$ টাকা = $6(x-2)$ টাকা

29. আবার 4 প্যাকেট বিস্কুটের হিসাব লিখব।

1 প্যাকেট বিস্কুটের দাম 2x টাকা হলে মোট কত টাকা লাগবে হিসাব করি।

1 প্যাকেট বিস্কুটের দাম $2x$ টাকা

4 প্যাকেট বিস্কুটের দাম $4 \times 2x$ টাকা।

$4 \times 2x$ টাকা = কত টাকা?

$4 \times 2x = (2x+2x+2x+2x)$ টাকা = $8x$ টাকা

যদি 1 প্যাকেট বিস্কুটের দাম $3x$ টাকা হয়, তাহলে 4 প্যাকেট বিস্কুটের দাম হবে $4 \times 3x$ টাকা

$= 4 \times 3x$ টাকা = $12x$ টাকা

$[4x + 3x + 3x + 3x = 12x]$

30. আমি যদি বোতাম ছাড়া একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল যার প্রস্থ 3 সেমি. ও দৈর্ঘ্য 4 সেমি., তবে এই আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত হবে দেখি –

ক্ষেত্রফল = $3 \times 4$ বর্গসেমি.

$= 3 \times 4xx$ বর্গসেমি. = $12x^2$ বর্গসেমি.

31. $3x \times (-5xy)$ কি হয় দেখি।

$3x \times (-5xy) = 3 \times x \times (-5) \times x \times y$

$= -15x^2y$

$= -15x^2y$

32. $5x \times 2x^2y \times 2y$ কি হয় দেখি।

$5x \times 2x^2y \times 2y = 5 \times 2 \times 2 \times x \times x^2 \times y \times y$

$= 20x^3y^2$

$= 20x^3y^2$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 6

নিজে করি – 6.6

1. গুণফল বের করি।

• (i) $7x$
• (ii) $2x - 3x$
• (iii) $-2x$
• (iv) $-3x^2$
• (v) $7x$
• (vi) $3ab$
• (vii) $4ac$
• (viii) $8x^2$
• (ix) $2y^2$
• (vii) $2a^2b$
• (viii) $3ab^2$
• (iii) $(-4xy)$
• (iv) $-4xy$

2. প্রথম একপদী বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে দ্বিতীয় একপদী বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে দিয়ে গুণ করে ফাঁকা ঘরে গুণফল লিখি।

3. বাবা আমাদের জন্য 4টি পেন কিনে এসেছেন। প্রতি পেনের দাম 5 টাকা। আমি বন্ধুদের জন্য ওই একই রকম পেন আরও 4টি কিনলাম। হিসাব করে দেখি আমি ও বাবা মোট কত টাকার পেন কিনলাম।

বাবা 4টি পেন কিনলেন $(5 \times 4)$ টাকায় = $\Box$ টাকায়

আমি 2টি পেন কিনলাম $(5 \times 2)$ টাকায় = $\Box$ টাকায়

পেন কিনতে আমাদের মোট খরচ হয়েছে $(\Box + \Box)$ টাকা।

$= (\Box + \Box)$ টাকা

অন্যভাবে দেখি, আমি ও বাবা দুজনে মোট পেন কিনেছি $(\Box + \Box)$ টি = 6টি

1টি পেনের দাম 5 টাকা। আমার ও বাবার পেন কিনতে মোট খরচ হয়েছে = $5 \times (4+2)$ টাকা

$= 5 \times 6$ টাকা = 30 টাকা

$\therefore 5 \times (4+2) = 5 \times 4 + 5 \times 2$

হাতেকলমে কাগজ কেটে হাতেকলমে করি $5(4+2) = 5 \times 4 + 5 \times 2$

(1) তিনটি সরলরেখাংশ আঁকি যাদের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5 সেমি., 4 সেমি. ও 2 সেমি. এবং ওই সরলরেখাংশগুলিকে চিহ্নিত করি যথাক্রমে a, b, c দিয়ে।

অধ্যায় : 6

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া

(2) একটি আয়তাকার চিত্র ABCD আঁকি যার AD বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ সেমি. ও AB বাহুর দৈর্ঘ্য $(b+c)$ সেমি.।

D    Q    C

a

A    b    P    c    B

AB ও DC বাহুর দুটি বিন্দু P ও Q এমনভাবে নিয়ে যাই,

AP = $b$ সেমি., PB = $c$ সেমি.,

DQ = $b$ সেমি., এবং QC = $c$ সেমি. হয়।

আবার, AD = BC = $a$ সেমি.

এই ABCD আয়তাকার কাগজ একটি পিচবোর্ডের উপর আটকিয়ে দিই ও নীল রঙ করি দিলাম।

(3) এবার এই নীল রঙের পিচবোর্ডের APQD অংশটি নীল রঙ করলাম ও PQCB অংশটি লাল রঙ করলাম।

D    Q    C

a

A    b    P    c    B

ABCD আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = AD $\times$ AB

$= a \times (b+c)$ বর্গসেমি.

APQD আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = AD $\times$ AP

$= a \times b$ বর্গসেমি.

PBCQ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = BC $\times$ PB

$= a \times c$ বর্গসেমি.

ABCD আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = APQD আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল + PBCQ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

$\therefore a \times (b+c) = a \times b + a \times c$

$a, b$ ও $c$-এর আলাদা আলাদা মান নিয়ে হাতেকলমে প্রমাণ করা যায় যে $a \times (b+c) = a \times b + a \times c$

এই নিয়মকে বিচ্ছেদ নিয়ম বলা হয়।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 6

34. আমি 2টি খাতা কিনলাম। প্রতি খাতার দাম $x$ টাকা।

আমার বন্ধু ইমতিয়াজও 3টি খাতা কিনল। কিন্তু ইমতিয়াজের প্রতিটি খাতার দাম আমার খাতার দামের থেকে 5 টাকা বেশি।

আমি মোট কত টাকার খাতা কিনলাম ও ইমতিয়াজ মোট কত টাকার খাতা কিনল হিসাব করি।

আমার 2টি খাতার দাম $2 \times \Box$ টাকা = $2x$ টাকা

ইমতিয়াজের প্রতিটি খাতার দাম আমার খাতার দামের থেকে 5 টাকা বেশি।

তাই, ইমতিয়াজের 1টি খাতার দাম $(x+5)$ টাকা।

ইমতিয়াজের 6টি খাতার দাম $6 \times (x+5)$ টাকা = $(6x+30)$ টাকা।

কিন্তু সুমির 1টি খাতার দাম আমার খাতার দামের থেকে 2 টাকা কম।

আমার 1টি খাতার দাম $x$ টাকা।

তাই, সুমির 1 টি খাতার দাম $(x-2)$ টাকা।

সুমি 3টি খাতা কিনেছে। 3টি খাতার মোট দাম = $\Box \times (x-2)$ টাকা।

$= (3x - 6)$ টাকা।

এখন আমার, ইমতিয়াজ ও সুমির খাতার মোট দাম

$(\Box + \Box + \Box)$ টাকা = $\Box$ টাকা (নিজে করি)

35. আজ আমাদের স্কুলের প্রতিষ্ঠা দিবস। সপ্তম শ্রেণির ছাত্রছাত্রীদের প্রত্যেককে 5 টাকার পেনসিল ও রবার দেওয়া হয়েছে। ষষ্ঠ শ্রেণির ছাত্রছাত্রীদের প্রত্যেককে 10 টাকার পেনসিল কম্পাস দেওয়া হয়েছে। আজ পঞ্চমশ্রেণিতে $x$ জন ছাত্রছাত্রী এসেছে। কিন্তু ষষ্ঠশ্রেণিতে পঞ্চম শ্রেণির চেয়ে 8 জন কম এসেছে।

হিসাব করে দেখি কত টাকার পেনসিল ও রবার কেনা হলো।

আবার কত টাকার পেনসিল কেনা হলো।

পঞ্চমশ্রেণির ছাত্রছাত্রী $x$ জন। ষষ্ঠ শ্রেণির ছাত্রছাত্রী $(\Box - \Box)$ জন

$x$ জনের প্রত্যেককে 5 টাকার পেনসিল ও রবার দিকে মোট খরচ হয় = $\Box \times \Box$ টাকা।

$= 5x$ টাকা।

$(x-8)$ জনের প্রত্যেককে 10 টাকার পেনসিল কম্পাস দিলে মোট খরচ হয় = $(\Box \times \Box)$ টাকা

$= \Box$ টাকা

অধ্যায় : 6

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া

36. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি গুণ করে গুণফল কী হয় দেখি।

• (i) $5x(x+2)$
• (ii) $2x(3-x)$
• (iii) $(7x+2)2x$
• (iv) $b^3(a^2-2ab)$
• (v) $4l(2l+lm+n)$
• (vi) $x^2(x^2+y^2+xy^2)$

নিজে করি – 6.7

1. প্রত্যেককে গুণ করে গুণফল নির্ণয় করি -

• (i) $ab(a^2-b^2)$
• (ii) $4a(a+b-c)$
• (iii) $6a^2b^2(2a+b)$
• (iv) $xyz(x^2y^2-y^2z+z^2y)$
• (v) $0, (ab+bc-ca)$

2. সরল করি -

• (i) $7x(2x+3)-5x(3x-4)$
• (ii) $x(x-y)+y(y-z)+z(z-x)$
• (iii) $2x-6x(5-8xy)$
• (iv) $7a-2(5a+6b-7)$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 6

দ্বিপদী বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে দ্বিপদী বীজগাণিতিক সংখ্যামালা দিয়ে গুণ

39. পঞ্চম শ্রেণির $x$ জনের প্রত্যেককে $y$ টি বই দেওয়া হয়েছে। কিন্তু ষষ্ঠ শ্রেণিতে $x$ জনের প্রত্যেককে $(y+3)$ টি বই দেওয়া হয়েছে। আবার সপ্তম শ্রেণিতে $(x+10)$ জনের প্রত্যেককে $(y+10)$ টি বই দেওয়া হয়েছে।

হিসাব করে দেখি পঞ্চম, ষষ্ঠ ও সপ্তম শ্রেণির প্রত্যেক শ্রেণিতে মোট কত বই দেওয়া হলো এবং তিনটি মিলিয়ে মোট কত বই দেওয়া হলো।

পঞ্চম শ্রেণিতে মোট বই দেওয়া হয়েছে $\Box \times \Box = \Box$ টি।

ষষ্ঠ শ্রেণিতে মোট বই দেওয়া হয়েছে $x(y+3)$ টি = $\Box$ টি

সপ্তম শ্রেণিতে মোট বই দেওয়া হয়েছে $(y+10)(x+10)$ টি

$= \Box (y+10) + \Box (x+10)$ টি

$= (yx + 11y + 10x + 110)$ টি

$\therefore$ তিনটি শ্রেণিতে মোট বই দেওয়া হয়েছে $(xy+xy+3x+xy+10y+10x+110)$ টি, $[xy = yx]$

$= (3xy+13x+11y+110)$ টি

40. $(3x+2y) \times (4x+3y)$ কত হয় দেখি।

$(3x+2y) \times (4x+3y)$

$= 3x(4x+3y) + 2y(4x+3y)$

$= 12x^2 + 9xy + 8xy + 6y^2$

$= 12x^2 + 17xy + 6y^2$

41. $(7x^2-y^2) \times (x-y)$ কত হয় দেখি।

$(7x^2-y^2) \times (x-y)$

$= 7x^2(x-y) - y^2(x-y)$

$= 7x^3 - 7x^2y - x y^2 + y^3$

$= 7x^3-7x^2y-xy^2+y^3$

42. $(2x+3y)$ কে $(x+y-z)$-দিয়ে গুণ করার চেষ্টা করি।

$(2x+3y) \times (x+y-z)$

$= 2x(x+y-z) + 3y(x+y-z)$

$= \Box + \Box - \Box + \Box - \Box + \Box$

$= 2x^2 + 5xy - 2xz + 3y^2 - 3yz$

অধ্যায় : 6

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া

43. $(3a+2b)$ কে $(a-b)$-দিয়ে গুণ করার চেষ্টা করি।

$(3a+2b) \times (a-b)$

$= 3a(a-b) + 2b(a-b)$

$= \Box - \Box + \Box - \Box$

$= 3a^2 - ab - 2b^2$

নিজে করি – 6.8

1. গুণ করি:

• (i) $(10-3x)(7+x)$
• (ii) $(11+2x)(8-2y)$
• (iii) $(a+by)(4a-6y)$
• (iv) $(2x^2-y^2)(3x-5y)$
• (v) $(\frac{x}{2}-\frac{y}{3})(\frac{2x}{3}-\frac{3y}{2})$
• (vi) $(\frac{2a^2}{9}-\frac{1}{7})(\frac{5}{2a}-\frac{2}{5})$

ফাঁকা ঘর পূরণ করি:

সমান ভাগ করি

• $5x \times 6y = 30xy$
• $2a \times 3b = \Box$
• $30xy \div 5x = 6y$
• $30xy \div 6y = 5x$
• $6ab \div 2a = \Box$
• $6ab \div 3b = \Box$
• $4x^2 \times (-2x) = -8x^3$
• $(-8x^3) \div (-2x) = \Box$
• $(-8x^3) \div (-2x) = 4x^2$
• $24ab \div (-8a) = \Box$
• $24ab \div (-3b) = \Box$

44. নাসরিন, সাবিনা, শোভা ও পরাগ আজ ৪ ঝুড়ি আম সমান ভাগে ভাগ করে নেবে।

প্রথমে গুনে দেখি প্রতি ঝুড়িতে কতগুলো আম আছে?

যদি প্রতি ঝুড়িতে $x$ সংখ্যক আম থাকে,

তবে ৪টি ঝুড়িতে মোট আম আছে $8 \times x$ টি = $\Box$ টি।

তারা 4 জনে সমান ভাগে ভাগ করে নিলে প্রত্যেকে পাবে $(8x \div 4)$ টি

$= 2x$ টি করে আম।

$\frac{2^3}{2^2} = \frac{2 \times 2 \times 2}{2 \times 2} = 2$

$2^3 = 2^{3-2} = 2^1 = 2$

$\frac{x^2}{x^1} = x^{2-1} = x^1 = x$

(যেখানে, $x \ne 0$)

$x^0 = 1$ যখন $x \ne 0$

[সংখ্যা থেকে পাইছি]

কিন্তু যদি 8x সংখ্যক আম সমান $x$ ভাগে ভাগ করি যখন $x \ne 0$ ($\ne$ সমান নয় চিহ্ন অর্থাৎ অসমান)

8x সংখ্যক আমকে সমান $x$ ভাগে ভাগ করলে প্রতি ভাগে পাই,

$\frac{8x}{x} = 8 \times x^{1-1} = 8 \times x^0 = 8$

অন্যভাবে, $\frac{8x}{x}$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 6

আমরা জানি, (যেকোনো সংখ্যা) $\div 0 = 0$

0 (শূন্য ছাড়া) যেকোনো সংখ্যা $\ne 0$ কি হবে দেখি?

$0 \div 5 = 0$

$0 \div 5 = 0 - 5 = 0 - 5 = \ldots$ অর্থাৎ 5 থেকে বারবার 0 বাদ দিয়ে 5 কে 0 তে পরিণত করা যাচ্ছে না। তাই এখানে ভাগফল পাওয়া যাচ্ছে না। তাই $0 \div 0$ অসংজ্ঞাত।

আবার দেখছি 0 থেকে 0 বিয়োগ করলে 0 হয়; 0 থেকে দু-বার 0 বিয়োগ করলে 0 হয়; 0 থেকে তিনবার 0 বিয়োগ করলে 0 হয়। এইভাবে 0 থেকে যেকোনো সংখ্যক বার 0 বিয়োগ করলে 0 হয়। তাই এখানে 1, 2, 3, ... যেকোনো সংখ্যাই ভাগফল হতে পারে। তাই $0 \div 0$ অসংজ্ঞাত।

45. $8x - x^2$ দিয়ে ভাগ করি (যেখানে, $x \ne 0$)

$\frac{8x}{x} = 8x^{1-1} = 8x^0 = 8$

$8x \div x = 8x^1 \div x^1 = 8x^{1-1} = 8x^0 = 8$

অন্যদিকে পাই,

$x^{-1} = \frac{1}{x^1} = \frac{1}{x}$ (যেখানে, $x \ne 0$)

46. আমি নীচের ভাগগুলি করার চেষ্টা করি:

• (i) $9a^3 \div a^2 = 9a^{3-2} = 9a$
• (ii) $(-25x^2pq^2) \div (-5pq)$
• (iii) $15xyz \div (-15xyz)$
• (iv) $13xy^2 \div 2y^2 = \frac{13xy^2}{2y^2} = \frac{13}{2}x$

অধ্যায় : 6

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া

নতুন আলমারিতে বই সাজিয়ে রাখি

47. আমার এই রাবার পুরোনো আলমারিতে 6টি তাক আছে। প্রতি তাকে $x$ টি বই আছে।

আজ আমি ঠিক করেছি, এই পুরোনো আলমারির সব বই ও আর 15টি বই নতুন আলমারির 3টি তাকে সমান ভাগ করে সাজিয়ে রাখব।

হিসাব করে দেখি নতুন আলমারির প্রতি তাকে কতগুলি বই রাখব।

পুরোনো আলমারির 1টি তাকে বই আছে $x$ টি

6টি তাকে মোট বই আছে $6 \times x = 6x$ টি।

নতুন আলমারিতে বই রাখব $(6x+15)$ টি বই।

নতুন আলমারির 3টি তাকে $(6x+15)$টি বই সমান ভাগে করে সাজিয়ে রাখলে প্রতি তাকে রাখব $\{(6x+15) \div 3\}$ টি বই।

$\therefore \{(6x+15) \div 3\} = \frac{6x+15}{3} = \frac{1}{3} (6x+15)$

$= \frac{6x}{3} + \frac{15}{3}$ [বিচ্ছেদ নিয়ম]

$= 2x+5$

$\therefore$ নতুন আলমারির প্রতি তাকে $(2x+5)$টি করে বই রাখব।

48. $(6x+15)$ -কে $3x$ দিয়ে ভাগ করি।

$(6x+15) \div 3x = \frac{6x+15}{3x}$

$= \frac{6x}{3x} + \frac{15}{3x}$

$= \Box + \Box$

49. $(8x^3+7x^2+xy)$ কে $2x^2$ দিয়ে ভাগ করি।

$(8x^3+7x^2+xy) \div 2x^2$

$= \frac{8x^3}{2x^2} + \frac{7x^2}{2x^2} + \frac{xy}{2x^2}$

$= 4x + \frac{7}{2} + \frac{y}{2x}$

$= \Box + \Box + \Box$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 6

50. $(-90a^2b^2 + 80a^2b^3 - 50a^4b^4)$-কে $10a^2b$ দিয়ে ভাগ করি।

$\frac{-90a^2b^2 + 80a^2b^3 - 50a^4b^4}{10a^2b}$

$= \frac{-90a^2b^2}{10a^2b} + \frac{80a^2b^3}{10a^2b} - \frac{50a^4b^4}{10a^2b}$

$= -9b + 8b^2 - 5a^2b^3$

$= -9b + 8b^2 - 5a^2b^3$

[প্রতিক্ষেত্রে বীজগাণিতিক সংখ্যা a, b, x, y কারও মান শূন্য নয়।]

কষে দেখি – 6.3

1. মনে মনে হিসাব করি:

• (i) $3a \times 4b = \Box$
• (ii) $12ab \div 3a = \Box$
• (iii) $12ab \div \Box = 4b$
• (iv) $(-x^2) \times \Box = x^2$
• (v) $9x^2 \div 3x^2 = \Box$
• (vi) $x^2 \times \Box = x^2$
• (vii) $x^2 \div x = 1$
• (viii) $0 \div ab = \Box$
• (ix) $4a^2b^2c^2 \times \Box = 0$
• (x) $3ab \div \Box = -a$
• (xi) $x^0 \times y = \Box$
• (xii) $x \div 0 = \Box$

2. গুণ করি:

• (a) $2x^2 \times (-3y) \times 6z$
• (b) $7y^2 \times 8x^2y \times xy$
• (c) $(-3a^2) \times (4a^2b) \times (-2)$
• (d) $(-2mn) \times (\frac{1}{6})m^2n^2 \times 13m^4n$
• (e) $\frac{2}{3}x^2y \times \frac{3}{5}xy^2$
• (f) $(-\frac{5}{18}x^2z) \times (-\frac{6}{25}x^2y^2z)$
• (g) $(-\frac{3}{5}s^3t) \times (-\frac{7}{9}s^2tu) \times (\frac{9}{7}su^2)$
• (h) $(\frac{4}{3}x^2yz) \times (\frac{1}{2}y^2zx) \times (-6xyz^2)$
• (i) $4a(3a+7b)$
• (j) $8a^2 \times (2a+5b)$
• (k) $-17x^2 \times (3x-4)$
• (l) $\frac{1}{2}abc(a^2+b^2-3c^2)$
• (m) $2x \times 5x(10x^2y - 100xy^2)$
• (n) $(2x+3y)(5x-y)$
• (o) $(a^2-b^2)(2b-6a)$
• (p) $(x+2)(3x+1)$

[প্রতিক্ষেত্রে বীজগাণিতিক সংখ্যা x, y, z, a, b, c, m, n, s, t ও u কারও মান শূন্য নয়।]

অধ্যায় : 6

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া

3. (i) সীমা প্রতি সারিতে $3x$ টি চারাগাছ লাগিয়েছে। এইরকম $2x$ টি সারি তে সীমা কতগুলি চারাগাছ লাগিয়েছে হিসাব করি।

(ii) একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $(4x+1)$ মিটার এবং প্রস্থ $3x$ মিটার। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত হিসাব করি।

(iii) এখন 1 ডজন কলার দাম আগের থেকে 6 টাকা বেড়েছে। আগে 1 ডজন কলার দাম $x$ টাকা থাকলে, এখন 2x ডজন কলা কিনতে কত টাকা লাগবে হিসাব করি।

(iv) একটি বর্গাকার ক্ষেত্রের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্য 7x সেমি. হলে, বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত দেখি।

(v) আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $8x^2$ একক। দৈর্ঘ্য $4x$ একক হলে, প্রস্থ কত হতে হবে হিসাব করি।

(vi) সুশোভন $9y$ দিনে $729y^4$ টি ঘুড়ি বিক্রি করেছে। সে গড়ে প্রতিদিন কতগুলি ঘুড়ি বিক্রি করেছে হিসাব করি।

[প্রতিক্ষেত্রে কোনো বীজগাণিতিক সংখ্যার মান শূন্য নয়।]

4. প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালা দিয়ে ভাগ করি।

• (i) $8x^2b, x^2b,$
• (ii) $-9xy^2, xy,$
• (iii) $-15x^3yz^2, -x^3yz^2,$
• (iv) $21l^3m^2n^2, -4l^3mn,$
• (v) $(5a^2-7ab^3), a,$
• (vi) $(-48x^4t^2x) , 3x^3,$
• (vii) $15m^2n + 20m^2n^2, 5mn,$
• (viii) $36a^3b^2 - 24a^2b^3 - 4a^2b^2,$
• (ix) $3p^3qr + 6p^2q^2r^2 - 9p^2q^2r^2, -3pqr,$
• (x) $m^2n^1+m^1n^1-m^1n^1, -m^1n^1$

[প্রতিক্ষেত্রে কোনো বীজগাণিতিক সংখ্যার মান শূন্য নয়।]

5. সরল করি:

• (i) $(a-b-c) + (b-c-a) + (c-a-b)$
• (ii) $a(b-c) - b(c-a) - c(a-b)$
• (iii) $x(x+4) + 2x(x-3) - 3x^2$
• (iv) $3x^2 + x(x+2) - 3x(2x+1)$
• (v) $(a+b)(a-b) + (b+c)(b-c) + (c+a)(c-a)$
• (vi) $(a^2+b^2)(a^2-b^2) + (b^2+c^2)(b^2-c^2) + (c^2+a^2)(c^2-a^2)$

অধ্যায় : 7

কম্পাসের সাহায্যে নির্দিষ্ট কোণ অঙ্কন

আজ আমরা কাগজ কেটে ও ভাঁজ করে নানারকমের কোণ সহজে তৈরি করার চেষ্টা করব।

আমি কাগজ কেটে ও ভাঁজ করে কোণগুলি তৈরি করব আর নিশাদ চাঁদার সাহায্যে মেপে দেখবে কোণগুলি ঠিক হলো কিনা।

প্রথমে একটি বৃত্তাকার কাগজকে সমান দু-ভাগ করলাম –

এবার এই অর্ধবৃত্তাকার কাগজকে সমান দু-ভাঁজ করলাম –

এই ভাঁজ করা কাগজকে আরও সমান দু-ভাঁজ করলাম –

এবার আরও একবার সমান দু-ভাঁজ করলাম –

এবার ভাঁজগুলি খুলে দিয়ে পেলাম –

চাঁদার সাহায্যে নিশাদ মেপে দেখল –

$45^\circ$ কোণ কেটে নিলে পাব –

$\angle AOB = 45^\circ$, $\angle COB = 135^\circ$

অধ্যায় : 7

কম্পাসের সাহায্যে নির্দিষ্ট কোণ অঙ্কন

কাগজ ভাঁজ করে এই রকম অনেকগুলি কাগজ তৈরি করলাম ও কেটে নিয়ে রঙিন করে পিচবোর্ডে আটকে রাখলাম। পেলাম -

- এদের মধ্যে কোন্ কোণটি সূক্ষ্মকোণ ও কোন্ কোণটি স্থূলকোণ লিখি।

আমরা গোলাকার কাগজের সাহায্যে সব কোণ আঁকতে পারি। আবার গোলাকার কাগজ ভাঁজের মাধ্যমে $\Box$, $\Box$, $\Box$....কোণগুলি পেলাম।

এবার বর্গাকার কাগজের টুকরো ভাঁজ করে কী কী কোণ পাই দেখি।

D      C

A      B

1

D    E    C

B    D    A

2

D    E    C

B    A

3

প্রথমে বর্গাকার কাগজের A কোণকে কেন্দ্র করে AB ও AD প্রান্ত দুটি 2 নং ছবির মতো ভাঁজ করলাম। এবার ভাঁজ খুলে পেলাম $\angle DAE = \angle EAF = \angle FAB = 30^\circ$

এবার A কোণকে কেন্দ্র করে AD-কে AE-র সাথে মিলিয়ে ভাঁজ করলাম ও খুলে দিয়ে পেলাম $\angle DAG = 150^\circ$

বর্গাকার কাগজকে ভাঁজ করে $\Box$ ও $\Box$ ডিগ্রি কোণ পেলাম।

আমি সেট স্কোয়ার দিয়েও অনেক কোণ আঁকতে পেরেছি। সেগুলি হল $30^\circ, \Box$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 7

কিন্তু স্কেল ও পেনসিল কম্পাস দিয়ে কী কী কোণ আঁকতে পারি দেখি।

1. প্রথমে স্কেল ও পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে $90^\circ$ আঁকার চেষ্টা করি।

একটি সরলরেখাংশের উপরে অন্য সরলরেখাংশ লম্বভাবে থাকলে তাদের মধ্যে যে কোণ তৈরি হয় তার মান $90^\circ$। তাই ওই সরলরেখাংশের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক এঁকে $90^\circ$ কোণ আঁকতে পারি।

একটি সরলরেখাংশের বাইরের কোনো বিন্দু থেকে ওই সরলরেখাংশের উপর লম্ব আঁকতে পারি। কিন্তু ওই সরলরেখাংশের উপরের কোনো বিন্দুতে কীভাবে লম্ব আঁকব বা $90^\circ$ কোণ আঁকব?

i) স্কেল ও পেনসিলের সাহায্যে যেকোনো একটি সরলরেখাংশ AB আঁকলাম। AB সরলরেখাংশের A বিন্দুতে পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে লম্ব আঁকব।

A              B

ii) AB রেখাংশের A বিন্দুকে কেন্দ্র করে অর্থাৎ পেনসিল কম্পাসের কাঁটা A বিন্দুতে বসিয়ে যেকোনো দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি অর্ধবৃত্তাকার চাপ আঁকলাম। এই চাপটি AB সরলরেখাংশকে C বিন্দুতে ছেদ করল।

A          C    B

iii) এবার C বিন্দুকে কেন্দ্র করে অর্থাৎ পেনসিল কম্পাসের কাঁটা C বিন্দুতে বসিয়ে, ওই একই দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে অর্থাত্ AB-এর দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকলাম যা আগের বৃত্তচাপকে D বিন্দুতে ছেদ করল।

অধ্যায় : 7

কম্পাসের সাহায্যে নির্দিষ্ট কোণ অঙ্কন

iv) এবার পেনসিল কম্পাসের কাঁটা D বিন্দুতে বসিয়ে, D বিন্দুকে কেন্দ্র করে ওই একই দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে অর্থাৎ AC-এর দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে আর একটি বৃত্তচাপ আঁকলাম যা প্রথম বৃত্তচাপকে E বিন্দুতে ছেদ করল।

A          C    B

E

D

v) এবার D বিন্দুকে কেন্দ্র করে ওই একই দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তচাপ আঁকলাম।

A          C    B

E

D

F

vi) এবার E বিন্দুকে কেন্দ্র করে ওই একই দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একই দিকে একটি বৃত্তচাপ আঁকলাম। বৃত্তচাপ দুটি পরস্পরকে F বিন্দুতে ছেদ করল।

A          C    B

E

D

F

vii) স্কেলের সাহায্যে A ও F বিন্দু দুটি যোগ করলাম।

চাঁদার সাহায্যে মেপে পেলাম $\angle FAB = \Box$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 7

2. আমি এই $\angle FAB$-কে সমান দুটি ভাগ করি অর্থাৎ সমদ্বিখণ্ডিত করি ও কী পাই দেখি।

$\angle FAB$ কে পেনসিল কম্পাস ও স্কেলের সাহায্যে সমদ্বিখণ্ডিত করে পেলাম, $\angle FAP = \angle PAB = 45^\circ$

F      P

E      D

A      C    B

$\angle PAB$ কোণকে আবার দুটি সমানভাগে ভাগ করি অর্থাৎ সমদ্বিখণ্ডিত করি।

পেলাম, $\angle BAQ = \angle PAQ = 22 \frac{1}{2}^\circ$

F      P

E      D

A      Q    C    B

D ও A যোগ করলাম ও চাঁদার সাহায্যে মেপে দেখছি, $\angle DAB = 60^\circ$

বা $\angle BAD = 60^\circ$

আবার $\angle FAD = 30^\circ$

এবার, E, A যোগ করি ও চাঁদার সাহায্যে মেপে দেখি।

দেখছি $\angle EAB = 120^\circ$

F      P

E      D

A      Q    C    B

$\angle FAD$ কোণকে আবার দুটি সমানভাগে ভাগ করি অর্থাৎ সমদ্বিখণ্ডিত করি।

পেলাম, $\angle FAG = \angle GAD = 15^\circ$

আবার দেখছি $\angle BAG = \angle BAD + \angle DAG = 60^\circ + 15^\circ = 75^\circ$

$\angle DAE = \Box$ ডিগ্রি। [নিজে করি]

অধ্যায় : 7

কম্পাসের সাহায্যে নির্দিষ্ট কোণ অঙ্কন

$90^\circ$ অঙ্কন করতে $15^\circ, 22 \frac{1}{2}^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 75^\circ$ ও $120^\circ$ কোণ চাঁদার সাহায্যে ছাড়া কেবলমাত্র স্কেল ও পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে আঁকতে পেরেছি।

3. কেবলমাত্র পেনসিল কম্পাস ও স্কেলের সাহায্যে কীভাবে $60^\circ, 30^\circ, 15^\circ$ কোণ আঁকা যায় দেখি।

• i) স্কেল ও পেনসিলের সাহায্যে একটি সরলরেখাংশ AB আঁকলাম।


A               B

• ii) AB রেখাংশের A বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকলাম, যা AB সরলরেখাংশকে C বিন্দুতে ছেদ করল।


A          C    B

D

• iii) এবার ওই একই দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে C বিন্দুকে কেন্দ্র করে পেনসিল কম্পাসের কাঁটা C বিন্দুতে বসিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকলাম যা আগের বৃত্তচাপকে D বিন্দুতে ছেদ করল।


A          C    B

D

• iv) স্কেলের সাহায্যে A ও D বিন্দু দুটি যোগ করে $\angle DAB$ পেলাম এবং $\angle DAB = 60^\circ$


A          C    B

D    E

• v) $\angle DAB$ কে সমদ্বিখণ্ডিত করে $30^\circ$ পেলাম। অর্থাৎ $\angle EAB = 30^\circ$


A          C    B

D    E

• vi) $\angle EAB$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে $15^\circ$ কোণ পাব।

অর্থাৎ $\angle FAB = 15^\circ$

4. কিন্তু আমি যদি $60^\circ$ কোণ একটি বাহু বিপরীতদিকে বাড়িয়ে দিই কি পাই দেখি

X    A    C    B

D

AB বাহুকে B বিন্দুর উলটোদিকে X বিন্দু পর্যন্ত বাড়াই।

দেখছি $\angle DAB = 60^\circ$ ও $\angle DAX = 120^\circ$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 7

আবার, B বিন্দুকে কেন্দ্র করে একই দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। যা প্রথমে প্রিজম বৃত্তচাপ E বিন্দুতে ছেদ করে। স্কেলের সাহায্যে A ও E বিন্দু দুটি যোগ করে চাঁদার সাহায্যে মেপে পেলাম $\angle EAB = 120^\circ$

A    C    B

D    E

A. এবার যদি $30^\circ$ কোণ $\angle ABC$ এবং তার BC বাহুকে C বিন্দুর বিপরীত দিকে বাড়িয়ে দিই কী পাব দেখি

$\angle ABC = 30^\circ$,

BC বাহুকে C বিন্দুর বিপরীত দিকে D পর্যন্ত বাড়িয়ে দিলাম, $\angle ABD = \Box$ ডিগ্রি কোণ পেলাম।

এবার এই $\angle ABD$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করি ও কী কোণ পাই দেখি ও লিখি।

কষে দেখি – 7

1. কাগজ ভাঁজ করে হাতেকলমে $15^\circ, 22\frac{1}{2}^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ কোণ তৈরি করি।

2. স্কেল, পেনসিল ও কম্পাসের সাহায্যে AB সরলরেখাংশের উপর A বিন্দুতে $90^\circ$ কোণ আঁকি। সেখান থেকে $120^\circ, 75^\circ$ ও $60^\circ$ কোণ আঁকি।

3. স্কেল, পেনসিল ও কম্পাসের সাহায্যে $45^\circ$ ও $22\frac{1}{2}^\circ$ কোণ আঁকি।

4. স্কেল ও পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে নিম্নলিখিত কোণগুলি আঁকি।

• a) $30^\circ$
• b) $60^\circ$
• c) $75^\circ$
• d) $105^\circ$
• e) $120^\circ$
• f) $135^\circ$
• g) $150^\circ$
• h) $15^\circ$

5. স্কেল ও পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে $\angle PQR$ অঙ্কন করি যার মান $60^\circ$; এবার QR বাহুকে R বিন্দুর বিপরীত দিকে S বিন্দু পর্যন্ত বাড়াই। $\angle PQS = \Box$ ডিগ্রি। এই $\angle PQS$ কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করি ও চাঁদার সাহায্যে মেপে যাচাই করি $\angle PQS$ সমদ্বিখণ্ডিত হলো কিনা।

6. স্কেল ও পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে $\angle ABC$ কোণ অঙ্কন করি যার মান $30^\circ$; এবার BC বাহুকে C বিন্দুর বিপরীত দিকে D পর্যন্ত বাড়াই। এবার $\angle ABD$-এর সমদ্বিখণ্ডক BE আঁকি। চাঁদার সাহায্যে মেপে দেখি $\angle DBE = \Box$ ডিগ্রি ও $\angle EBC = \Box$ ডিগ্রি।

অধ্যায় : 8

ত্রিভুজ অঙ্কন

8. আমি, রেশমি, বনলতা, সাবিনা ও রশি সবাই মিলে ঠিক করেছি নির্দিষ্টমাপের ত্রিভুজ আঁকব ও ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রে রঙ করব। আমরা আরও নানা মাপের খুশি নানান মাপের কাগজ কেটে ত্রিভুজাকার ক্ষেত্র তৈরি করি।

আজ আমরা আলাদা আলাদা মাপের বেড়া ও কোণের সাহায্যে নতুন ত্রিভুজ তৈরি করার চেষ্টা করব। ত্রিভুজের বাহুর সংখ্যা $\Box$ টি ও কোণ $\Box$ টি।

ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5 সেমি., 6 সেমি. ও 7 সেমি.। ত্রিভুজ আঁকার চেষ্টা করি। একটি ত্রিভুজ আঁকি যার AB=6 সেমি., BC=5 সেমি. ও CA=7 সেমি.

শুধুমাত্র স্কেল ও পেনসিল দিয়ে একটি কোণ বিন্দু হিসাব করি

1. এবার স্কেল, পেনসিল ও কম্পাস দিয়ে নিখুঁতভাবে ত্রিভুজ আঁকার চেষ্টা করি।

• i) স্কেল ও পেনসিলের সাহায্যে 5 সেমি., 6 সেমি. ও 7 সেমি. দৈর্ঘ্যের তিনটি সরলরেখাংশ আঁকলাম।


5 সেমি.   6 সেমি.   7 সেমি.

• ii) একটি রশ্মি AX আঁকলাম। AX রশ্মির A বিন্দুকে কেন্দ্র করে পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে 7 সেমি. দৈর্ঘ্যের সমান ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তচাপ কাটলাম।


A      C    X

7 সেমি.

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 8

iii) A বিন্দুকে কেন্দ্র করে পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকলাম। এই বৃত্তচাপের উপরে কোন্ B বিন্দু আছে (এই B বিন্দু খোঁজাই এখন কাজ)।

A      C    X

7 সেমি.

iv) এবার C বিন্দুকে কেন্দ্র করে ওই একই দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে আর একটি বৃত্তচাপ আঁকলাম। এই বৃত্তচাপ দুটি পরস্পরকে B বিন্দুতে ছেদ করেছে।

A      C    X

7 সেমি.

B

v) স্কেলের সাহায্যে A, B এবং B, C বিন্দুগুলি যোগ করে ত্রিভুজ ABC পেলাম। যার AB = 6 সেমি., BC = 5 সেমি. এবং AC = 7 সেমি.।

A                D

6 সেমি.                7 সেমি.

C    X

B                E    F

সুবিরও স্কেল ও কম্পাসের সাহায্যে DEF অন্য একটি ত্রিভুজ আঁকল যার DE = 5 সেমি.

EF = 6 সেমি. ও FD = 7 সেমি.। আমি $\triangle DEF$ কেটে $\triangle ABC$-এর উপর বসিয়ে দেখছি সম্পূর্ণ মিলে যাচ্ছে।

সুতরাং দুটি ত্রিভুজের বাহুগুলি সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সর্বসমভাবে মিলে যায় অর্থাৎ ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যগুলি নির্দিষ্ট হলে ত্রিভুজটি নির্দিষ্ট হয়।

অধ্যায় : 8

ত্রিভুজ অঙ্কন

2. আমি 3 সেমি., 4 সেমি. ও 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের সরলরেখাংশ নিয়ে ত্রিভুজ আঁকার চেষ্টা করি:

3 সেমি.

4 সেমি.

8 সেমি.

A      C    B

3 সেমি.      8 সেমি.

দেখছি, A ও C বিন্দুতে কেন্দ্র করে 3 সেমি. ও 4 সেমি. ব্যাসার্ধের বৃত্তচাপ দুটি পরস্পরকে ছেদ করছে না।

আমি 3 সেমি., 6 সেমি. ও 7 সেমি. দৈর্ঘ্যের সরলরেখাংশ নিয়ে ত্রিভুজ আঁকতে পেরেছি। এক্ষেত্রে ক্ষুদ্রতম বাহু দুটির দৈর্ঘ্য হলো 3 সেমি. ও 6 সেমি. এবং তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য 7 সেমি.

আবার $3 \text{ সেমি.} + 6 \text{ সেমি.} = 9 \text{ সেমি.} > 7 \text{ সেমি.}$

আবার দেখলাম 3 সেমি., 4 সেমি. ও 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের সরলরেখাংশ নিয়ে ত্রিভুজ আঁকতে পারলাম না। এক্ষেত্রে ক্ষুদ্রতম বাহু দুটির দৈর্ঘ্য হলো 3 সেমি. ও 4 সেমি. এবং তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সেমি.

আবার $3 \text{ সেমি.} + 4 \text{ সেমি.} = 7 \text{ সেমি.} \lt 8 \text{ সেমি.}$

তাই দেখলাম ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম বাহু দুটির সমষ্টি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে বড়ো না তবেই ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।

কষে দেখি – 8.1

1. ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। সেখানে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব সেখানে ত্রিভুজ আঁকার চেষ্টা করি ও যেখানে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয় কারণ দেখাই।

• i) 4 সেমি., 5 সেমি. ও 7 সেমি.
• ii) 9 সেমি., 4 সেমি. ও 4 সেমি.
• iii) 6 সেমি., 8 সেমি. ও 10 সেমি.

2. ABC একটি ত্রিভুজ আঁকি যার AB = 5.5 সেমি., BC = 5 সেমি. ও CA = 6 সেমি.।

3. একটি সমবাহু ত্রিভুজ আঁকি যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 4.5 সেমি.। চাঁদার সাহায্যে এই ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মাপ লিখি।

4. PQR একটি ত্রিভুজ আঁকি যার PQ = 6 সেমি., QR = 5 সেমি. ও PR = 6 সেমি.। চাঁদার সাহায্যে এই ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ মাপি এবং কোণগুলির সম্পর্ক বের করি।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 8

3. ABC একটি ত্রিভুজ আঁকার চেষ্টা করি যেখানে AB=5 সেমি., BC=7 সেমি. এবং $\angle ABC=60^\circ$

প্রথমে স্কেল ও পেনসিলের সাহায্যে খসড়া ছবি আঁকি

• i) প্রথমে স্কেলের সাহায্যে 5 সেমি. ও 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের দুটি সরলরেখাংশ আঁকি।


A

5 সেমি.

7 সেমি.

B     C



5 সেমি.

7 সেমি.

• ii) এবার একটি রশ্মি BX নিলাম। A বিন্দুকে কেন্দ্র করে পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে 7 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তচাপ আঁকলাম যা রশ্মি BX কে C বিন্দুতে ছেদ করল।


B      C    X

7 সেমি.

• iii) এবার B বিন্দুকে কেন্দ্র করে $60^\circ$ কোণের সমান মানের একটি কোণ $\angle YBC$ আঁকলাম।


B      C    X

5 সেমি.

60°

7 সেমি.

A

• iv) এবার B বিন্দুকে কেন্দ্র করে পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে একটি বৃত্তচাপ আঁকলাম যার ব্যাসার্ধ 5 সেমি. যা রশ্মি BY কে D বিন্দুতে ছেদ করল সেইটিই $\Box$ বিন্দু।
• v) স্কেলের সাহায্যে A ও C বিন্দু দুটি যোগ করে $\triangle ABC$ পেলাম।

অধ্যায় : 8

ত্রিভুজ অঙ্কন

রেশমি ও DEF একটি ত্রিভুজ আঁকল যার DE = 5 সেমি., EF = 7 সেমি. ও $\angle DEF = 60^\circ$।

আমি আমার আঁকা ABC ত্রিভুজাকারক্ষেত্রটি কেটে রেশমির আঁকা DEF ত্রিভুজাকারক্ষেত্রের উপর বসিয়ে দেখছি ত্রিভুজ দুটি অপরটির সাথে সম্পূর্ণভাবে মিলে যাচ্ছে।

অর্থাৎ একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ অপর একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণের সমান হলে একটি অপরটির সাথে সম্পূর্ণরূপে মিলে যায়।

অর্থাৎ ত্রিভুজের দুটি বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্দিষ্ট হলে নির্দিষ্ট ত্রিভুজ পাই।

কষে দেখি – 8.2

1. ABC একটি ত্রিভুজ আঁকি যার AB = 4 সেমি. BC = 6 সেমি. এবং $\angle ABC = 45^\circ$

2. দুটি ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য ও বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান হলে ত্রিভুজ দুটির একটি অপরটির সাথে সম্পূর্ণভাবে মিলে যাবে। দুটি ত্রিভুজ আঁকি। তারপর ত্রিভুজ দুটি কেটে ও মিলিয়ে যাচাই করি।

3. PQR একটি ত্রিভুজ আঁকি যার PQ = 4 সেমি., QR = 3 সেমি. এবং $\angle PQR = 90^\circ$; PQR ত্রিভুজের PR বাহুর দৈর্ঘ্য স্কেলের সাহায্যে মেপে লিখি।

4. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ আঁকি যার সমান দুটি বাহুর প্রত্যেকের দৈর্ঘ্য 7.2 সেমি. এবং সমান বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ $100^\circ$।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 8

এবার ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ও ওই বাহুর সংলগ্ন দুটি কোণ জানা থাকলে কীভাবে ত্রিভুজ আঁকা যায় দেখি।

1. প্রথমে স্কেল ও পেনসিলের সাহায্যে খসড়া ছবি আঁকি

i) প্রথমে স্কেলের সাহায্যে 7 সেমি. দৈর্ঘ্যের সরলরেখাংশ ও চাঁদার সাহায্যে $100^\circ$ মাপের কোণ এঁকে নিলাম।

B        C

7 সেমি.

A

$100^\circ$

ii) এবার একটি রশ্মি BX নিলাম। B বিন্দুকে কেন্দ্র করে কম্পাসের সাহায্যে 7 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্তচাপ আঁকলাম যা BX রশ্মিকে $\Box$ বিন্দুতে ছেদ করল।

B        C    X

7 সেমি.

iii) এবার পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে B বিন্দুকে কেন্দ্র করে $30^\circ$ কোণের সমান $\angle YBC$ কোণ অঙ্কন করলাম। অর্থাৎ পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে $60^\circ$ কোণ আঁকলাম। আবার পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে সেই কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করলাম।

B    C    X

Y

অধ্যায় : 8

ত্রিভুজ অঙ্কন

iv) পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে C বিন্দুকে কেন্দ্র করে $100^\circ$ কোণের সমান করে একটি কোণ অঙ্কন করলাম যা BY রশ্মিকে A বিন্দুতে ছেদ করল।

$\therefore \triangle ABC$ পেলাম যার BC = 7 সেমি., $\angle ABC = \Box$ ডিগ্রি এবং $\angle ACB = \Box$ ডিগ্রি।

A      Y

B      C    X

$100^\circ$

সোহানা PQR একটি ত্রিভুজ আঁকল যার QR = 7 সেমি., $\angle PQR = 30^\circ$ ও $\angle PRQ = 100^\circ$

আমি আমার আঁকা ABC ত্রিভুজাকারক্ষেত্রটি কেটে সোহানার আঁকা PQR ত্রিভুজাকারক্ষেত্রের উপর বসিয়ে দেখছি ত্রিভুজাকারক্ষেত্র দুটি অপরটির সাথে সম্পূর্ণরূপে মিলে গেল।

পেলাম, দুটি ত্রিভুজের একটি বাহু ও সেই বাহু সংলগ্ন কোণ দুটি অপর একটি ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু এবং বাহু সংলগ্ন কোণ দুটির সাথে সমান হলে একটি ত্রিভুজ অপরটির সাথে সম্পূর্ণরূপে মিলে যায়। অর্থাৎ ত্রিভুজের একটি বাহু ও বাহু সংলগ্ন কোণদুটি নির্দিষ্ট হলে নির্দিষ্ট ত্রিভুজ পাই।

কষে দেখি – 8.3

1. একটি ত্রিভুজের একটি বাহু ও সেই বাহু সংলগ্ন কোণ দুটি অপর একটি ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ও বাহু সংলগ্ন কোণের সাথে সমান হলে একটি ত্রিভুজ অপরটির সাথে সম্পূর্ণরূপে মিলে যাবে। দুটি ত্রিভুজ আঁকি। তারপর ত্রিভুজাকারক্ষেত্র দুটি কেটে ও মিলিয়ে যাচাই করি।

2. XYZ একটি ত্রিভুজ আঁকি যার YZ = 6.5 সেমি. ও $\angle XYZ = 60^\circ$ ও $\angle XZY = 70^\circ$

3. ABC একটি ত্রিভুজ আঁকি যার BC = 5.5 সেমি., $\angle ABC = 60^\circ$ ও $\angle ACB = 30^\circ$

4. PQR একটি ত্রিভুজ আঁকার চেষ্টা করি যার QR = 7.2 সেমি., $\angle PQR = 80^\circ$ ও $\angle PRQ = 115^\circ$ হলে ত্রিভুজ গঠন না হলে কারণ খুঁজি।

5. DEF একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ আঁকি যার EF বাহুর দৈর্ঘ্য 6.2 সেমি. এবং বাহু সংলগ্ন দুটি কোণের যোগফল $100^\circ$।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 8

5. আমি একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকার চেষ্টা করি যার একটি বাহু ও অতিভুজের দৈর্ঘ্য জানা আছে। একটি সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ অববাহই $\Box$ (সমকোণ / স্থূলকোণ)।

প্রথমে স্কেল ও পেনসিলের সাহায্যে খসড়া ছবি আঁকি

i) প্রথমে স্কেল ও পেনসিলের সাহায্যে 3 সেমি. ও 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের সরলরেখাংশ আঁকলাম।

3 সেমি.

5 সেমি.

ii) স্কেল ও পেনসিলের সাহায্যে QX একটি রশ্মি আঁকলাম।

Q      X

Y

iii) পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে QX রশ্মির Q বিন্দুতে QY লম্ব আঁকলাম।

Q      X

P      Y

iv) Q বিন্দুকে কেন্দ্র করে 3 সেমি. দৈর্ঘ্যের সমান QX থেকে P বিন্দু নিলাম। 3 সেমি. দৈর্ঘ্যের সমান QY থেকে R বিন্দু নিলাম।

v) পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে QX রশ্মির Q বিন্দুতে 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের সমান ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তচাপ আঁকলাম যা QY কে P বিন্দুতে ছেদ করল।

এবার P, R বিন্দু দুটি যোগ করে $\triangle PQR$ পেলাম।

$\angle PQR = \Box$ ডিগ্রি, PR = $\Box$ সেমি., QR = $\Box$ সেমি.,

স্কেলের সাহায্যে মেপে পেলাম PQ = $\Box$ সেমি.

তিনটি ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা হলো যার $\angle ACB = 1$ সমকোণ, BC = 3 সেমি., AB = 5 সেমি.

আমি তুলির আঁকা ABC সমকোণী ত্রিভুজাকারক্ষেত্রটি কেটে নিয়ে আমার আঁকা PQR সমকোণী ত্রিভুজাকারক্ষেত্রের উপর বসিয়ে দেখলাম ত্রিভুজ দুটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও আর একটি বাহু সমান বলে সমকোণী ত্রিভুজ দুটি একটি অপরটির সাথে সম্পূর্ণরূপে মিলে গেল।

অধ্যায় : 8

ত্রিভুজ অঙ্কন

কিন্তু আমি যে সমকোণী ত্রিভুজ PQR আঁকলাম তার অতিভুজ PR = 5 সেমি., QR = 3 সেমি. এবং $\Box$ সেমি.।

কিন্তু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ, ভূমি ও লম্বের দৈর্ঘ্যগুলির মধ্যে কি কোনো সম্পর্ক আছে?

এখানে অতিভুজের দৈর্ঘ্য = 5 সেমি., ভূমির দৈর্ঘ্য = 3 সেমি. এবং লম্বের দৈর্ঘ্য = 4 সেমি.

দেখছি, $5^2 = 3^2 + 4^2$ অর্থাৎ অতিভুজ$^2$ = ভূমি$^2$ + লম্ব$^2$

কষে দেখি – 8.4

1. PQR একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকি যার $\angle PQR = 90^\circ$, PQ = 6 সেমি. ও QR = 4 সেমি.

2. ABC একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ আঁকি যার $\angle ABC = 90^\circ$, AB = 7 সেমি.

3. XYZ একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকি যার $\angle XYZ = 90^\circ$, XZ = 10 সেমি. এবং YX = 6 সেমি.

4. ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকি যার $\angle BAC = 90^\circ$, BC = 8 সেমি. এবং $\angle ACB = 45^\circ$

সংকেত

i) স্কেল ও পেনসিলের সাহায্যে একটি রশ্মি CX নিলাম।

ii) C বিন্দুকে কেন্দ্র করে পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে CX-এর উপর $90^\circ$ কোণ আঁকি।

iii) পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে $\angle XCD$ কে সমদ্বিখণ্ডিত করি। একটি কোণ $\angle XCY$ পাই যার মান $45^\circ$। এই CY রশ্মির উপরে $\Box$ বিন্দু আছে।

iv) CY থেকে 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের সমান CB কেটে নিলাম। B বিন্দু থেকে স্কেল ও পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে CX-এর উপর লম্ব আঁকি। এই লম্ব CX কে $\Box$ বিন্দুতে ছেদ করল।

সুতরাং প্রদত্ত সমকোণী ত্রিভুজের BC = 8 সেমি., $\angle BAC = 90^\circ$ এবং $\angle ACB = 45^\circ$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 9

সর্বসমতার ধারণা

আর্মি স্কেল, পেনসিল ও কম্পাসের সাহায্যে ত্রিভুজ-এর ছবি আঁকি। গতি ও একই আকারের দুটি ছবি কেটে সায়ান ও রেশমি মিলিয়ে দেখিছি।

এখন আমরা কোন কোন শর্তে ত্রিভুজ দুটি একটি অপরটির সাথে সম্পূর্ণ মিলে গেছে তা দেখি।

A

B      C    E

D

F

B      C    E

A

B      C

D

E    F

• i) দুটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য অন্য একটি ত্রিভুজের অনুরূপ তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান হলে তাকে আমরা বাহু-বাহু-বাহু বা S-S-S শর্ত বলব।
• ii) দুটি ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণের পরিমাপ অপর একটি ত্রিভুজের অনুরূপ দুটি বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণের পরিমাপের সমান হলে তাকে আমরা বাহু-কোণ-বাহু বা S-A-S শর্ত বলব।
• iii) দুটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাপ ও একটি বাহুর দৈর্ঘ্য অপর একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাপ এবং অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান হলে তাকে কোণ-বাহু-কোণ বা A-S-A অথবা কোণ-কোণ বাহু বা A-A-S শর্ত বলব।
• iv) একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ও একটি বাহুর দৈর্ঘ্য অপর একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ও একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান হলে তাকে আমরা সমকোণ-অতিভুজ-বাহু বা R-H-S শর্ত বলব।

অধ্যায় : 9

সর্বসমতার ধারণা

তিতলি ও রমা দুটি ফুলের ছবি কেটে নিল। তিতলির আঁকা ফুলের ছবি রানার আঁকা ফুলের ছবির সাথে সম্পূর্ণভাবে মিলে গেল। এই দুই ছবি দুটিও কি সর্বসম?

কিন্তু দুটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ সমান হলে দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হবে কিনা দেখি।

দুটি সমবাহু ত্রিভুজ আঁকি -

A

B      C

$2.5$ সেমি.

$60^\circ$

D

E      F

4 সেমি.

$60^\circ$

দেখছি, দুটি ত্রিভুজের কোণগুলি সমান। কিন্তু একটি জ্যামিতিক চিত্রের উপর আর একটি জ্যামিতিক চিত্র বসালে সম্পূর্ণভাবে মিলে যাচ্ছে না। অর্থাৎ ত্রিভুজ দুটি সর্বসম নয়।

**তাহলে ত্রিভুজ দুটিকে কী বলব? যখন ত্রিভুজ দুটি সদৃশকোণী (সদৃশকোণী) বলা হয়।**

**অর্থাৎ একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ অপর একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাপের সমান। তাই দুটি ত্রিভুজের কোণ-কোণ-কোণ বা (A-A-A) সর্বসমতার শর্ত হতে পারে না।**

A

B      C

4 সেমি.

$45^\circ$

D

E      F

5 সেমি.

$45^\circ$

এই সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ দুটির অনুরূপ কোণ তিনটি সমান। ত্রিভুজ দুটি সর্বসম নয়। কিন্তু ত্রিভুজ দুটি $\Box$। [নিজে লিখি]

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 9

কষে দেখি – 9

1. সর্বসমতা বলতে কী বুঝি লিখি।

2. ত্রিভুজের সর্বসমতার শর্তগুলি লিখি।

3. কোণ-কোণ-কোণ ত্রিভুজের সর্বসমতার একটি শর্ত হতে পারে কি? -ছবি এঁকে বোঝাই।

4. নীচের আঁকা ত্রিভুজগুলির প্রতিক্ষেত্রে কোন্ দুটি সর্বসম এবং কোন্ দুটি সর্বসম নয় তা সর্বসমতার শর্ত দিয়ে যুক্তিসহ লিখি।

(i)

A      D

B    C    E    F

5 সেমি.   6 সেমি.

7 সেমি.

(ii)

P    Q    R    H    I

5.5 সেমি.   8.2 সেমি.

$60^\circ$

G

(iii)

A    D    E

B      C

3 সেমি.

4 সেমি.

$30^\circ$

(iv)

A    D

E    F

B    C

$90^\circ$

$30^\circ$

(v)

A    D

B    C    E

3 সেমি.   4 সেমি.

$60^\circ$   $45^\circ$

(vi)

A    D

B    C    E    F

$30^\circ$   $40^\circ$

4 সেমি.

(vii)

B    D

E    F

A    C

3 সেমি.   4 সেমি.

$40^\circ$

(viii)

B    D

A    C    E

3.5 সেমি.   3.5 সেমি.

$55^\circ$   $70^\circ$

অধ্যায় : 10

আসমান

এ বছর আমি ক্ষুদিরাম মেমোরিয়াল স্কুলে ভর্তি হয়েছি। স্কুলে অনেক বন্ধু পেয়েছি। কিটু, তমাল, তিতলি, ফিরোজ, আনোয়ারা সবাই মিলে আমরা খেলাধুলা করি। আজ আমরা ঠিক করেছি, আমরা নিজেদের বয়স ও উচ্চতা সবার আর আলাদা গ্রাফবেডতে লিখব।

আমার বয়স 12 বছর 3 মাস 5 দিন এবং উচ্চতা 150.8 সেমি.। কিন্তু তমাল আমার বয়স লিখল 12 বছর ও উচ্চতা লিখল 151 সেমি.। এই রকম লিখল কেন?

তমাল বয়স ও উচ্চতার যে মানটি লিখল সেটি সঠিক মানের আসমান। এই আসমান আমাদের অনেক গুরুত্বপূর্ণ সিদ্ধান্ত নিতে সাহায্য করে। এবার তমাল দুটি দল তৈরি করল। একটি দল যাদের বয়স 12 বছরের বেশি এবং অন্য দলের প্রত্যেকের বয়স 12 বছরের কম। দুটি দলের বয়সের কয়েরকম

উচ্চতা লিখল $\rightarrow$

উচ্চতা	তমাল লিখল
150.3 সেমি.	150 সেমি.
152.7 সেমি.	153 সেমি.
159.5 সেমি.	160 সেমি.
161.4 সেমি.	161 সেমি.

বুঝেছি, 150, 153, 160, 161 হলো 150.3, 152.7, 159.5 ও 161.4 -এর আসমান।

কিন্তু এই আসমান লেখার কী কোনো নিয়ম আছে? সেই নিয়মটা কী?

তাই দেখছি আসমান প্রকৃত মানের চেয়ে কিছু কম অথবা বেশি হয়।

150.3 - এর আসমান 150 নিলে $150.3 - 150 = 0.3$ কম নিই।

কিন্তু 150.3 - এর আসমান 151 নিলে $151 - 150.3 = 0.7$ বেশি নিই। অর্থাৎ এক্ষেত্রে প্রকৃত মানের থেকে আসমানের পার্থক্য বোঝায় $0.3$ এবং $0.7$। হিসাব করে দেখব। তাই, 150.3 -এর আসমান 150 নিলে গাণিতিক চিহ্নে প্রকাশ করে পাই 150।

এই $ \approx$ গাণিতিক চিহ্ন মানে প্রায় সমান।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 10

1. 152.7 সেমি.-রা আসমান 153 সেমি. কীভাবে হলো দেখি।

152.7 -এর আগের পূর্ণসংখ্যা 152 এবং পরের পূর্ণসংখ্যা 153

$153 - 152.7 = \Box$ কিন্তু $152.7 - 152 = \Box$

153 প্রকৃত মানের কাছে আছে। তাই $152.7 \approx \Box$ [নিজে আসমানের গাণিতিক চিহ্ন বসাই]

2. কিন্তু 159.5 যখন প্রকৃত মান, তখন আসমান কী হবে দেখি।

159.5-এর আগের ও পরের পূর্ণসংখ্যা $\Box \text{ ও } \Box$

$160 - 159.5 = \Box$ ও $159.5 - 159 = \Box$

দেখছি, দুটোই পার্থক্য সমান। সেক্ষেত্রে $159.5 \approx 160$ হবে। অর্থাৎ পরের পূর্ণসংখ্যাই আসমান হবে।

3. কিন্তু 159.251-এর এক দশমিক পর্যন্ত আসমান কী হবে?

$159.25 \approx 159.3$ [যেহেতু শতাংশে 5 আছে]

4. 159.251-এর দুই দশমিক পর্যন্ত আসমান কী হবে?

$159.251 \approx 159.25$ [যেহেতু সহস্রাংশে 1 আছে]

5. যদি 17 মিটার লম্বা ফিতেকে 14 টি সমান টুকরো করার চেষ্টা করি তবে প্রতি টুকরোর দৈর্ঘ্য কত হতে হিসাব করি।

প্রতি টুকরোর দৈর্ঘ্য হবে $\frac{17}{14}$ মিটার = $1.214285712 \ldots \ldots \ldots$ মিটার

$\frac{17}{14} = 1.21428571 \ldots$ আসমান লিখি।

$(1.2142871 \ldots)$-এর দশমিকের পরে পাঁচটা স্থান বা পাঁচ দশমিক স্থান পর্যন্ত লেখার চেষ্টা করি।

$1.2142871 \ldots$-এর পাঁচ দশমিক স্থান পর্যন্ত আসমান 1.21429

[যেহেতু দশমিকের পরে পঞ্চম স্থানে 8 ও ষষ্ঠ স্থানে 7 আছে তাই $(8+1)=9$ হলো।]

অধ্যায় : 10

আসমান

6. এবার, 1.2142871-এর দশ দশমিক স্থান পর্যন্ত আসমান খুঁজি।

$1.2142871 \approx 1.2143$ [$\therefore$ দশমিকের পরে পঞ্চম স্থানে 8 আছে তাই চতুর্থ স্থান $2+1=3$ হলো]

$1.2142871$-এর তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসমান লিখি -

$1.2142871 \approx 1.21 \Box$ [নিজে লিখি]

$1.2142871$-এর দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসমান লিখি -

$1.2142871 \approx \Box$ [নিজে লিখি]

$\therefore$ ফিতের প্রতি খন্ডের দৈর্ঘ্য হবে প্রায় 1.21 মিটার (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত)।

7. আমি $\frac{12}{13}$ -এর দুই, তিন, চার ও পাঁচ দশমিক স্থান পর্যন্ত আসমান খুঁজি।

$\frac{12}{13} = 0.9230769 \ldots$

$\approx \Box$ [দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত]

$\approx \Box$ [তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত]

$\approx \Box$ [চার দশমিক স্থান পর্যন্ত]

$\approx \Box$ [পাঁচ দশমিক স্থান পর্যন্ত]

নিজে করি – 10.1

1. নীচের ভগ্নাংশগুলি দুই, তিন ও চার দশমিক স্থান পর্যন্ত আসমানে লিখি—

• (i) $\frac{13}{17}$
• (ii) $\frac{19}{29}$

8. কলেজ ঘাট রোডের বিবেকানন্দ উচ্চ মাধ্যমিক বিদ্যালয়ে স্কুলবাড়ি মেরামতের জন্য বিভিন্ন সংস্থা থেকে চাঁদা তোলা হয়েছে। মোট 2486519 টাকা চাঁদা উঠেছে। কত লাখ টাকা চাঁদা উঠেছে?

প্রায় 25 লক্ষ টাকা চাঁদা উঠেছে।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 10

কারণ $2486519 \approx 25,00,000$ (লক্ষের স্থান পর্যন্ত)

$2486519 \approx 2490000$ (অযুতার স্থান পর্যন্ত)

$2486519 \approx 2486500$ (শতাংশ স্থান পর্যন্ত)

$2486519 \approx \Box$ (দশক স্থান পর্যন্ত)

নিজে করি – 10.2

নীচের সংখ্যার দশক, হাজার ও অযুত স্থান পর্যন্ত আসমান লিখি।

কষে দেখি – 10

1. 3 টাকা 7 জন ছেলেমেয়েদের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করে দিই। হিসাব করে দেখি প্রত্যেকে কত পয়সা পাবে। (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসমানে)

2. 7 জনের মোট টাকা হিসাব করব। 3 টাকা কম বা কত বেশি হয়।

3. আমি 22 টাকা 8 জন ছেলে ও 7 জন মেয়ের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করে দেওয়ার চেষ্টা করি। হিসাব করে দেখি প্রত্যেকে প্রায় কত পয়সা পাবে। (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসমানে)

আরও হিসাব করে দেখি 8 জন ছেলে মোট কত টাকা পেল ও 7 জন মেয়ে মোট কত টাকা পেল। 8 জন ছেলে ও 7 জন মেয়ে মিলে মোট কত টাকা পেল হিসাব করি ও দেখি এই মোট টাকা 22 টাকার কত বেশি বা কত কম।

4. আলো 1 সেকেন্ডে যায় 186000 মাইল। 1 মাইল = 1.6093 কিমি.। আলো 1 সেকেন্ডে কতদূর যায় তা কিলোমিটারে প্রকাশ করি। (তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসমানে)

5. 0.997-এর দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসমান লিখি।

অধ্যায় : 10

আসমান

5. শূন্যস্থান পূরণ করি -

6. নীচের ভগ্নাংশগুলির দুই, তিন ও চার দশমিক স্থান পর্যন্ত আসমান লিখি—

• (i) $\frac{22}{7}$
• (ii) $\frac{13}{14}$
• (iii) $\frac{1}{5}$
• (iv) $\frac{47}{57}$

7. নীচের সংখ্যাগুলির লক্ষ, সহস্র ও শতকে আসমান লিখি –

8. আসমানের ব্যবহারিক প্রয়োগ -

• i) 11 টা 9 মিনিট 40 সেকেন্ডকে আসমানে কত বলি [মিনিটে]?
• ii) জুতোঁর দাম 99.99 টাকা লেখা থাকলে আসমানে জুতোঁর দাম কত ধরি?
• iii) একটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য 1.59 সেমি. হলে আসমানে রেখাংশটির দৈর্ঘ্য কত লিখি?
• iv) মুদির দোকানে পোস্ত কিনতে গিয়ে ওজন মাপার মেশিনে দেখলাম 102 গ্রাম। দোকানদার আসমানে কত গ্রাম জিনিসের দাম নেব তা লিখি।

অধ্যায় : 11

ভগ্নাংশের বর্গমূল

আমাদের পড়ার ক্লাস ঘরের মেঝেতে ছোটো ছোটো লাল ও কালো বর্গাকার টালি দিয়ে ভরতি করা হয়েছে। 100 টি টালি বর্গাকারে সাজানো হয়েছে।

তবে মেঝের মাঝে নীচের 0.5 অংশ সবুজ টালি ও 0.5 অংশ কালো টালি আছে।

$0.5 \times 0.5 = 0.25$

$\therefore (0.5)^2 = 0.25$

1. যদি $0.12 \times 0.12$ অংশে সবুজ রঙের টালি থাকত, তবে মেঝোর কত অংশে সবুজ রঙের টালি থাকত হিসাব করি।

$0.12 \times 0.12 = 0.0144$ অংশে।

$\therefore$ $(0.12)^2 = 0.0144$

আবার, $0.15 \times 0.15 = 0.0225$

$\therefore (0.15)^2 = \Box$

0.25, 0.0144, 0.0225 পূর্ণবর্গ দশমিক সংখ্যা

0.25-এর বর্গমূল বা $\sqrt{0.25} = 0.5$

$0.0144$-এর বর্গমূল বা $\sqrt{0.0144} = 0.12$

$0.0225$-এর বর্গমূল বা $\sqrt{0.0225} = \Box$

দেখছি, পূর্ণবর্গ দশমিক সংখ্যার দশমিকের পরে জোড় সংখ্যক অঙ্ক আছে।

পূর্ণবর্গ দশমিক সংখ্যা

অধ্যায় : 11

ভগ্নাংশের বর্গমূল

কাগজে নীল বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বড়ো বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $\Box$ অংশ।

নীল বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য বড়ো বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের $\Box$ অংশ।

$\frac{1}{2} = \frac{\Box}{2} = \frac{1}{\Box}$ অংশ

আবার, $(\frac{3}{7})^2 = \frac{9}{49}$

একইভাবে রেহানার বর্গাকারের সবুজ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বড়ো বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $\Box$ অংশ।

$\therefore$ সবুজ বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য বড়ো বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের $\Box$ অংশ = $\Box$ অংশ

আবার, $(\frac{4}{7})^2 = \Box$

রেহানা লাল, নীল ও সবুজ ঘরগুলি কেটে নিল।

তিথীর করা $\rightarrow$

পিযুষের হলুদ রঙের বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বড়ো বর্গক্ষেত্রের

ক্ষেত্রফলের $\Box$ অংশ।

হলুদ রঙের বর্গাকার ক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য বড়ো বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের $\Box$ অংশ।

এবার বর্গাকার ঘর না এঁকে ভগ্নাংশের 1 টি বাহুর দৈর্ঘ্য বের করি।

2. $\sqrt{\frac{32}{50}}$ বর্গসেমি. ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের 1টি বাহুর দৈর্ঘ্য কী হবে হিসাব করি।

1 টি বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{\frac{32}{50}}$ সেমি. = $\sqrt{\frac{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}{2 \times 5 \times 5}}$ সেমি. = $\sqrt{\frac{2^5}{5^2}}$ সেমি.

$= \sqrt{\frac{2^2 \times 2^2 \times 2}{5^2}}$ সেমি. = $\frac{2 \times 2 \sqrt{2}}{5}$ সেমি. = $\frac{4\sqrt{2}}{5}$ সেমি.

3. 121 বর্গসেমি. ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের 1টি বাহুর দৈর্ঘ্য কী হবে হিসাব করি।

121 বর্গসেমি. ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের 1টি বাহুর দৈর্ঘ্য

$\sqrt{\frac{121}{144}}$ সেমি. = $\sqrt{\frac{11 \times 11}{12 \times 12}}$ সেমি. = $\frac{11}{12}$ সেমি.

$= \frac{11^2}{12^2}$ সেমি.

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 11

নিজে করি – 11.1

1. নীচের ভগ্নাংশগুলির বর্গমূল করি:

• 1) (i) $\frac{22}{49}$ (ii) $\frac{375}{1213}$ (iii) $6 \frac{11}{64}$ (iv) $\frac{121}{49}$ (v) $\frac{144}{324}$

2. নীচের ভগ্নাংশগুলির বর্গমূল করি:

• (i) $25/16$
• (ii) $64/9$
• (iii) $121/36$
• (iv) $169/81$
• (v) $225/289$

4. যদি $\sqrt{32}$ -এর বর্গমূল চাই তাহলে কীভাবে করব দেখি।

$\sqrt{32} = \sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2} = \sqrt{2^5} = 2 \times 2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

32 পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। কারণ 32 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই 32 = $2^2 \times 2^2 \times 2^1$

এই রকম ভগ্নাংশকে কী বলব?

$\frac{9}{32}$   $\frac{4}{49}$

পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ নয়। বুঝেছি, $\frac{32}{2^2 \times 2^3}$ পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।

5. $\frac{32}{2}$-কে ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $\Box$ দিয়ে গুণ বা ভাগ করব দেখি।

32-এর মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করেছি 4 পূর্ণসংখ্যা এবং 1টি উৎপাদক 2 আছে, যা পূর্ণবর্গ নয়। তাই $\frac{32}{2}$ -কে 2 দিয়ে গুণ করে পাই, $\frac{32}{2} \times 2 = 16 = 4^2$: 16 একটি পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ।

$\therefore 32$-কে ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $\Box$ দিয়ে গুণ করলে পূর্ণবর্গ পাব।

6. যদি $\frac{9}{32}$-কে 2 দিয়ে ভাগ করি কী পাই দেখি।

$\frac{9}{32} \div 2 = \frac{9}{32 \times 2} = \frac{9}{64} = (\frac{3}{8})^2$: $\frac{9}{64}$ একটি পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ।

$\therefore \frac{9}{32}$-কে ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $\Box$ দিয়ে ভাগ করলে পূর্ণবর্গ পাব।

7. $\sqrt{\frac{36}{243}}$ -এর জন্য কীভাবে করব দেখি।

$\frac{36}{243} = \frac{2 \times 2 \times 3 \times 3}{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3} = \frac{2^2 \times 3^2}{3^5}$

$\frac{36}{243}$ পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ নয়। কারণ যেহেতু দুটি পূর্ণসংখ্যা 3 এবং একটি পূর্ণসংখ্যা 3 আছে যা পূর্ণবর্গ নয়।

$\therefore \frac{36}{243}$ -কে পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ করতে ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $\Box$ দিয়ে গুণ করতে হবে।

আবার $\frac{36}{243}$-কে পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশে করতে ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $\Box$ দিয়ে ভাগ করতে হবে।

অধ্যায় : 11

ভগ্নাংশের বর্গমূল

নিজে করি – 11.2

1. কোন্ ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দিয়ে গুণ করলে নীচের ভগ্নাংশগুলি পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ হবে তা নির্ণয় করি।

• (i) $\frac{64}{147}$
• (ii) $\frac{25}{162}$
• (iii) $\frac{100}{128}$
• (iv) $\frac{81}{288}$

2. কোন্ ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে নীচের ভগ্নাংশগুলি পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ হবে তা নির্ণয় করি।

• (i) $\frac{450}{625}$
• (ii) $\frac{320}{121}$
• (iii) $\frac{245}{64}$
• (iv) $\frac{243}{144}$

8. যদি ভগ্নাংশের লব ও হরের বর্গমূল ভাগ প্রক্রিয়া করি। তবে কী সুবিধা হয় দেখি।

$\sqrt{\frac{1764}{5625}}$ -এর বর্গমূল অর্থাৎ $\sqrt{\frac{1764}{5625}}$ -এর মান ভাগ প্রক্রিয়া খুঁজি।

$\therefore \sqrt{1764} = 42$

$\therefore \sqrt{5625} = 75$

পেলাম, $\sqrt{\frac{1764}{5625}} = \frac{\sqrt{1764}}{\sqrt{5625}} = \frac{42}{75}$

দেখছি, ভগ্নাংশের লব ও হরকে সংখ্যাটা থাকলে ভাগ প্রক্রিয়ায় বর্গমূল করলে সুবিধা হয়।

এবার আমি ভাগ প্রক্রিয়ায় $\sqrt{5329}$ -এর মান ভাগ প্রক্রিয়ায় খুঁজি।

$\therefore \sqrt{4761} = \Box$

$\therefore \sqrt{5329} = \Box$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 11

9. আমি $\frac{625}{144}$ -এর বর্গমূলকে কোন্ সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে 1 পাব হিসাব করে দেখি।

প্রথমে $\frac{625}{144}$-এর বর্গমূলের মান হিসাব করে লিখি।

$\frac{625}{144}$-এর বর্গমূল অর্থাৎ $\sqrt{\frac{625}{144}} = \frac{\Box}{\Box} = \frac{\Box}{12}$

এবার $\frac{25}{12}$-কে কত দিয়ে গুণ করলে 1 পাব দেখি।

$1 = \frac{12}{25} \times \frac{25}{12}$

$\therefore \frac{25}{12}$ -কে $\frac{12}{25}$ দিয়ে গুণ করলে $\Box$ পাব।

10. $\sqrt{\frac{625}{144}}$ -এর বর্গমূল অর্থাৎ $\frac{25}{12}$ -কে কত দিয়ে গুণ করলে 5 -এর বর্গ পাব হিসাব করি।

5 -এর বর্গ = $\Box$

$\frac{25}{12}$-কে কত দিয়ে গুণ করলে 25 পাব দেখি।

$\frac{25}{12} \times \Box = 25$

$\Box = \frac{25 \times 12}{25} = 12$

অর্থাৎ, $\frac{25}{12}$-কে $\Box$ দিয়ে গুণ করলে 5 -এর বর্গ পাব।

কষে দেখি – 11.1

1. একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $\frac{1089}{625}$ বর্গসেমি.। বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত সেমি. হিসাব করি।

2. নীচের ভগ্নাংশগুলির বর্গমূল নির্ণয় করি।

• (i) $\frac{22}{49}$
• (ii) $\frac{375}{121}$
• (iii) $6 \frac{4}{676}$
• (iv) $\frac{496}{1729}$
• (v) $\frac{324}{576}$

3. $\frac{169}{121}$-এর বর্গমূলকে কত দিয়ে গুণ করলে গুণফল 1 হবে হিসাব করি।

4. দুটি ধনাত্মক সংখ্যার একটি অপরটির 2 গুণ। সংখ্যা দুটির গুণফল $\frac{1}{32}$ হলে সংখ্যা দুটি কী কী হবে নির্ণয় করি।

অধ্যায় : 11

ভগ্নাংশের বর্গমূল

5. হিসাব করে দেখি কোন্ ভগ্নাংশকে সেই ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ করলে গুণফল $\frac{145}{256}$ হবে।

6. হিসাব করে দেখি $\frac{14}{2}$ -কে কোন্ ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ করলে গুণফলের বর্গমূল 1 হবে।

7. হিসাব করে দেখি $\frac{35}{42}$ -কে কোন্ ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ করলে গুণফলের বর্গমূল 2 হবে।

8. $\frac{9}{50}$ -কে সবচেয়ে ছোটো কোন্ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দিয়ে গুণ করলে গুণফলটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে তা নির্ণয় করি।

9. দুটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল $\frac{15}{2}$ এবং তাদের ভাগফল $\frac{1}{24}$ হলে, সংখ্যা দুটি কী কী হবে তা নির্ণয় করি।

10. দুটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল $\frac{16}{30}$ এবং তাদের ভাগফল $\frac{1}{2}$ হলে, সংখ্যা দুটি কী কী হবে তা নির্ণয় করি।

11. $\sqrt{\frac{9}{64} + \frac{25}{64}}$-এর মান কত হবে হিসাব করি।

12. $\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{9} - \frac{1}{16} - \frac{1}{25}}$-এর মান কত হবে হিসাব করি।

13. $\sqrt{\frac{1}{16}}, \sqrt{\frac{1}{25}}, \sqrt{\frac{1}{36}}, \sqrt{\frac{1}{49}}$-কে মানের অধক্রমে সাজাই।

14. $\sqrt{16+36}$-এর চেয়ে $\sqrt{25+81}$ কত বেশি হিসাব করি।

15. ভগ্নাংশগুলির বর্গমূল করি -

• (i) $3 \frac{2}{49}$
• (ii) $7 \frac{22}{57}$
• (iii) $\frac{1089}{1225}$
• (iv) $3 \frac{81}{1225}$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 11

দশমিক সংখ্যার বর্গমূল

আমাদের পড়ার ক্লাস ঘরের মেঝেতে ছোটো ছোটো লাল ও কালো বর্গাকার টালি দিয়ে ভরতি করা হয়েছে। 100 টি টালি বর্গাকারে সাজানো হয়েছে।

তবে মেঝোর মাঝে নীচের 0.5 অংশ সবুজ রঙের টালি থাকত, তবে মেঝোর কত অংশে সবুজ রঙের টালি থাকত হিসাব করি।

$0.5 \times 0.5 = 0.25$

$\therefore (0.5)^2 = 0.25$

1. যদি $0.12 \times 0.12$ অংশে সবুজ রঙের টালি থাকত, তবে মেঝোর কত অংশে সবুজ রঙের টালি থাকত হিসাব করি।

$0.12 \times 0.12 = 0.0144$ অংশে।

$\therefore (0.12)^2 = 0.0144$

আবার, $0.15 \times 0.15 = 0.0225$

$\therefore (0.15)^2 = \Box$

0.25, 0.0144, 0.0225 পূর্ণবর্গ দশমিক সংখ্যা

0.25-এর বর্গমূল বা $\sqrt{0.25} = 0.5$

$0.0144$-এর বর্গমূল বা $\sqrt{0.0144} = 0.12$

$0.0225$-এর বর্গমূল বা $\sqrt{0.0225} = \Box$

দেখছি, পূর্ণবর্গ দশমিক সংখ্যার দশমিকের পরে জোড় সংখ্যক অঙ্ক আছে।

পূর্ণবর্গ দশমিক সংখ্যা

অধ্যায় : 11

ভগ্নাংশের বর্গমূল

পেলাম, কোনো দশমিক সংখ্যায় যদি দশমিক বিন্দুর পরে বিজোড় সংখ্যক অঙ্ক থাকে তাহলে সেই দশমিক সংখ্যাটি কখনোই পূর্ণবর্গ দশমিক সংখ্যা হবে না।

13. 0.81-এর বর্গমূল খুঁজি।

আমি অন্যভাবে ভগ্নাংশে প্রকাশ করি -

$0.81 = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{100}} = \frac{9}{10} = 0.9$

0.81-এর বর্গমূল = 0.9

$\sqrt{0.81} = \Box$

$0.81$-এর দশমিক বর্জিত অখণ্ড সংখ্যা 81

$81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^2 \times 3^2$

$\therefore \sqrt{81} = 3 \times 3 = 9$

যেহেতু পূর্ণবর্গ দশমিক সংখ্যা 0.81-এ দশমিকের পরে [2] টি অঙ্ক আছে, তাই 0.81-এর বর্গমূলে দশমিকের ডানপাশে [1] টি অঙ্ক থাকবে।

$\therefore \sqrt{0.81} = 0.9$

14. 1.69-এর বর্গমূল খুঁজি

অন্যভাবে ভগ্নাংশে প্রকাশ করে 1.69-এর মান লিখি

$\sqrt{1.69} = \sqrt{\frac{169}{100}} = \frac{13}{10} = 1.3$

1.69-এর বর্গমুল অখণ্ড সংখ্যা $= 169$

$\therefore \sqrt{169} = 13$

যেহেতু পূর্ণবর্গ দশমিক সংখ্যা 1.69-এ দশমিকের পরে [2] টি অঙ্ক আছে, তাই 1.69-এর বর্গমূলে দশমিকের ডানপাশে [1] টি অঙ্ক থাকবে।

$\therefore \sqrt{1.69} = 1.3$

15. 0.1225-এর বর্গমূল লিখি।

$0.1225$-এর দশমিক বর্জিত অখণ্ড সংখ্যা $= \Box$

$1225 = 5 \times 5 \times 7 \times 7 = 5^2 \times 7^2$

$\therefore \sqrt{1225} = 5 \times 7 = 35$

অন্যভাবে ভগ্নাংশে প্রকাশ করে
0.1225 -এর মান লিখি।

$\sqrt{0.1225} = \sqrt{\frac{1225}{10000}} = \frac{\sqrt{5 \times 5 \times 7 \times 7}}{\sqrt{2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 2 \times 5}} = \frac{5 \times 7}{2 \times 2 \times 5} = \frac{35}{100} = 0.35$

$\therefore 0.1225 = 0.35$

যেহেতু পূর্ণবর্গ দশমিক সংখ্যা $0.1225$-এর দশমিকের পরে $\Box$ টি অঙ্ক আছে, তাই 0.1225-এর বর্গমূলে দশমিকের ডানপাশে $\Box$ টি অঙ্ক থাকবে।

$\therefore \sqrt{0.1225} = 0.35$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 11

নিজে করি – 11.3

1. নীচের দশমিক সংখ্যার বর্গমূলের মান লিখি -

• (i) 0.7
• (ii) 0.16
• (iii) 0.08
• (iv) 0.25

2. দশমিক বিন্দুর পরে অঙ্ক বিস্তারে নীচের দশমিক সংখ্যার মধ্যে কোন্গুলো পূর্ণবর্গ দশমিক সংখ্যা দেখি।

• (i) 22.5
• (ii) 1.44
• (iii) 62.5
• (iv) 12.1

3. নীচের দশমিক সংখ্যার বর্গমূলের মান নির্ণয় করি –

• (i) 4.41
• (ii) 2.25
• (iii) 0.0256
• (iv) 0.0484

ভাগ পদ্ধতিতে ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যার বর্গমূল করেছ কিন্তু $\Box$ ভাগ পদ্ধতিতে দশমিক সংখ্যার বর্গমূল করতে পারি কিনা দেখি।

16. 0.0121-এর বর্গমূল ভাগ পদ্ধতিতে কীভাবে সম্ভব চেষ্টা করি।

বর্গমূলের জন্য দশমিকের পরে জোড় সংখ্যা রাখতে হবে। তাই দশমিকের ডানদিকে থেকে দু-বার (জোড়া না হলে '0' দিয়ে জোড়া করা হয়) ও অখণ্ড সংখ্যার ক্ষেত্রে যে যেখানে নিয়ম শিখে ভাগ পদ্ধতিতে বর্গমূল নির্ণয় করেছি সেই ভাবেই এগোলাম।

$\therefore$ ভাগ পদ্ধতিতে $\sqrt{0.0121} = 0.11$

পেলাম, $\sqrt{1.21} = 1.1$

অখণ্ড সংখ্যার ভাগ পদ্ধতিতে বর্গমূলের সময়ে ডানদিকে থেকে বামদিকে দুটি সংখ্যার মাথায় টিরাচিহ্ন দেওয়া হয়।

$\therefore \sqrt{1.21} = 1.1$

অধ্যায় : 11

ভগ্নাংশের বর্গমূল

ভাগ পদ্ধতিতে $\sqrt{0.50625}$, $\sqrt{0.000324}$, $\sqrt{85.3776}$, $\sqrt{3.4596}$ ও $\sqrt{0.8836}$-এর মান লিখি।

$\therefore \sqrt{0.50625} = 0.225$

$\therefore \sqrt{0.000324} = 0.018$

$\therefore \sqrt{3.4596} = 1.86$

নিজে করি – 11.4

1. নীচের দশমিক সংখ্যার ভাগ পদ্ধতিতে বর্গমূল নির্ণয় করি।

• 1) 0.000256
• 2) 0.45369
• 3) 1.0609
• 4) 75.69

যে সব সংখ্যা পূর্ণবর্গ নয় তাদের ভাগ পদ্ধতিতে বর্গমূল করার চেষ্টা করি ও তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসমান খুঁজি।

17. আমি 2-এর বর্গমূল কত তা দেখি।

2-কে 1 দিয়ে ভাগ করলে দশমিকের পর থেকে প্রতিবার 1 টি শূন্য নামাতে পারি। কিন্তু ভাগ পদ্ধতিতে বর্গমূলের ক্ষেত্রে দশমিকের পর থেকে দুটি শূন্য নামাতে হয়।

$\sqrt{2}$-এর তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসমান মান 1.414

$\sqrt{2}$-এর দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসমান মান $\Box$ [নিজে করি]

অধ্যায় : 11

ভগ্নাংশের বর্গমূল

আমি ভাগ পদ্ধতিতে $\sqrt{3}$-এর চার দশমিক স্থান পর্যন্ত আসমান মান কী পাই দেখি।

$\therefore \sqrt{3}$-এর চার দশমিক স্থান পর্যন্ত আসমান মান 1.7321

এবার $\sqrt{3}$-এর দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসমান মান $\Box$ [নিজে করি]

নিজে করি – 11.5

$\sqrt{5}$ ও $\sqrt{7}$-এর দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসমান মান নির্ণয় করি।

কষে দেখি – 11.2

1. একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 32.49 বর্গসেমি.। এই বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত সেমি. হবে হিসাব করি।

2. 2.1214 বর্গমিটার 3টি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $2.9411$ বর্গমিটার বিশিষ্ট দুটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

3. $0.28$-এর সাথে কোন দশমিক সংখ্যা যোগ করলে যোগফলের বর্গমূল 1 হবে হিসাব করি।

4. $0.162$ এবং $0.2$-এর গুণফলের বর্গমূল কত হবে হিসাব করে লিখি।

5. $\sqrt{240.25} + \sqrt{2.4025} + \sqrt{0.024025}$-এর মান কী হবে হিসাব করে লেখার চেষ্টা করি।

6. 1.4641 বর্গমিটার ও 1.0609 বর্গমিটার ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট দুটি বর্গক্ষেত্রের মধ্যে কোন বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য বেশি ও কত বেশি হিসাব করে লেখার চেষ্টা করি।

7. 0.4-এর বর্গের সঙ্গে $0.3$-এর বর্গ যোগ করলে যে যোগফল পাব তা যে সংখ্যার বর্গের সমান সেই সংখ্যাটি কী হবে নির্ণয় করি।

অধ্যায় : 11

ভগ্নাংশের বর্গমূল

8. ভাগ পদ্ধতিতে বর্গমূল নির্ণয় করি।

• (i) 2.56
• (ii) 4.84
• (iii) 6.76
• (iv) 0.045369
• (v) 0.00169
• (vi) 76.195441
• (vii) 170.485249
• (viii) 5505.64

9. কোন্ দশমিক সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে গুণফল 1.1025 হবে তা নির্ণয় করি।

10. 0.75 -এর সাথে কোন্ সংখ্যা যোগ করলে তার বর্গমূল 2 হবে তা নির্ণয় করি।

11. 48.09 থেকে কোন্ দশমিক সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফলের বর্গমূল 5.7 হবে তা নির্ণয় করি।

12. 0.000328 থেকে কোন্ ক্ষুদ্রতম দশমিক সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফলটি একটি পূর্ণবর্গসংখ্যা (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত) হবে তা নির্ণয় করি।

13. নীচের সংখ্যাগুলির আসমান মান লিখি।

• (i) $\sqrt{6}$ (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত)
• (ii) $\sqrt{8}$ (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত)
• (iii) $\sqrt{11}$ (তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত)
• (iv) $\sqrt{12}$ (তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত)

14. $\sqrt{15}$-এর দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসমান মান লিখি। এই আসমান মানের বর্গ করি ও এই বর্গ 15-এর চেয়ে কত কম বা বেশি হিসাব করি।

অধ্যায় : 12

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

নানান রঙের আয়তাকার ও বর্গাকার কার্ড তৈরি করি ও সাজাই।

আজ আমি রুমা, বুলু, তিমির ও তমাল সবাই মিলে নানান রঙের নানান মাপের বর্গাকার ও আয়তাকার পিচবোর্ডের কার্ড তৈরি করব এবং তারপরে নানাভাবে সাজিয়ে কী পাই দেখি।

আমি একটি লাল রঙের বর্গাকার পিচবোর্ডের কার্ড তৈরি করলাম যার একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সেমি.

রুমা আর একটি নীল রঙের বর্গাকার পিচবোর্ডের কার্ড তৈরি করল যার একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 3 সেমি.

তিমির একটি সবুজ রঙের আয়তাকার পিচবোর্ডের কার্ড তৈরি করল যার দৈর্ঘ্য 5 সেমি. ও প্রস্থ 3 সেমি.

বুলু ও তিমির মতো হলুদ রঙের আয়তাকার পিচবোর্ডের কার্ড তৈরি করল যার দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং প্রস্থ 3 সেমি.

এবার লাল, নীল, সবুজ ও হলুদ রঙের চার রকমের কার্ড আমরা নানাভাবে সাজানোর চেষ্টা করে পাশের ছবির মতো সাজিয়ে একটি বড়ো বর্গক্ষেত্র পেলাম।

অধ্যায় : 12

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

দেখছি, এই বড়ো পিচবোর্ডে যে বর্গক্ষেত্র তৈরি হলো তার একটি বাহুর দৈর্ঘ্য $(5+3)$ সেমি.।

তাই বড়ো বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডের ক্ষেত্রফল $(5+3)^2$ বর্গসেমি.।

কিন্তু, এই বড়ো বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডের ক্ষেত্রফল = লাল রঙের বর্গাকার পিচবোর্ডের ক্ষেত্রফল + হলুদ রঙের আয়তাকার পিচবোর্ডের ক্ষেত্রফল + সবুজ রঙের আয়তাকার পিচবোর্ডের ক্ষেত্রফল + নীল রঙের বর্গাকার পিচবোর্ডের ক্ষেত্রফল।

অর্থাৎ, $(5+3)^2$ বর্গসেমি. = $5^2$ বর্গসেমি. + $3 \times 5$ সেমি. + $5 \times 3$ সেমি. + $3^2$ বর্গসেমি.

$= 5^2$ বর্গসেমি. + $2 \times (5 \text{ সেমি.} \times 3 \text{ সেমি.}) + 3^2$ বর্গসেমি. [ $\therefore 3 \times 5 = 5 \times 3$ ]

তাই $(5+3)^2 = 5^2 + 2 \times 5 \times 3 + 3^2$

(1) 7 সেমি. ও 3 সেমি. প্রস্থ বিশিষ্ট দুটি আয়তাকার কার্ডবোর্ড ও 7 সেমি. দৈর্ঘ্য ও 3 সেমি. প্রস্থ বিশিষ্ট দুটি আয়তাকার কার্ডবোর্ড নিয়ে এভাবে তৈরি করেছি।

$(7+3)^2 = 7^2 + 2 \times 7 \times 3 + 3^2$ [কাগজ কেটে নিজে করি]

(2) অন্য যেকোনো দৈর্ঘ্যের বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্র তৈরি করে কী পাই দেখি। [নিজে করি]

হাতেকলমে

এবার ধরি $a$ একক দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট একটি লাল রঙের বর্গাকার পিচবোর্ড, এবং $b$ একক দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট একটি নীল রঙের বর্গাকার পিচবোর্ড এবং $a$ একক দৈর্ঘ্য ও $b$ একক প্রস্থবিশিষ্ট সবুজ ও হলুদ রঙের দুটি আয়তাকার পিচবোর্ড তৈরি করে একইভাবে সাজিয়ে পেলাম –

a   b             a

a $\downarrow$   b $\downarrow$

$a \times a = a^2$   $b \times a$

$a \times b$   $b \times b = b^2$

এই $(a+b)$ একক দৈর্ঘ্যের বাহু বিশিষ্ট পিচবোর্ডের বর্গক্ষেত্র থেকে পেলাম –

$(a+b)^2 = a^2+ab+ba+b^2$

$= a^2+ab+ab+b^2$ [ $\therefore ba=ab$ ]

$= a^2+2ab+b^2$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 12

a ও b যেকোনো সংখ্যা হলে $(a+b)^2 = (a+b) \times (a+b)$

অর্থাৎ $(a+b) \times (a+b) = (a+b)a + (a+b)b$ [বিচ্ছেদ নিয়ম পাই]

$= a \times a + b \times a + a \times b + b \times b$

$= a^2 + ab + ab + b^2$ [ $\therefore ba=ab$ ]

$= a^2 + 2ab + b^2$

$\therefore (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

হাতেকলমে ও বীজগাণিতিক সংখ্যামালা গুণ করে পেলাম $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

কিন্তু $(a-b) = (a-b) = \Box$ এই বীজগাণিতিক সংখ্যামালা দুটি গুণ করি ও কী পাই দেখি-

$(a-b) \times (a-b) = (a-b)a - (a-b)b$ [বিচ্ছেদ নিয়ম পাই]

$= a \times a - b \times a - a \times b - b \times (-b)$

$= a^2 - ba - ab + b^2$ [ $\therefore ba=ab$ ]

$= a^2 - ab - ab + b^2$

$= a^2 - 2ab + b^2$

$\therefore (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

হাতেকলমে

আমরা আগের মতো বর্গাকার ও আয়তাকার রঙিন পিচবোর্ড কেটে এবং সাজিয়ে হাতেকলমে $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ যাচাই করার চেষ্টা করি।

A    B

a   a

E    F          C    D

H    G          K    L

M    N          P    Q

b

আমি $a$ একক দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট লাল রঙ করা পিচবোর্ডের একটি বর্গক্ষেত্র তৈরি করলাম।

$\leftarrow a \rightarrow \leftarrow b \rightarrow$

$\downarrow$

$a \times a = a^2$

$\downarrow$

$E \leftarrow b \rightarrow F$

$\downarrow$

$b \times b = b^2$

$\downarrow$

H   G

এবার $b$ একক দৈর্ঘ্যের $(b < a)$ বাহুবিশিষ্ট নীল রঙ করা পিচবোর্ডের একটি বর্গক্ষেত্র তৈরি করলাম।

M $\leftarrow b \rightarrow N$

মুসকান সবুজ ও হলুদ রঙ করা পিচবোর্ডের দুটি আয়তাকারক্ষেত্র তৈরি করল যার দৈর্ঘ্য $a$ একক ও প্রস্থ $b$ একক।

L   K

a   b

P   Q

অধ্যায় : 12

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

আমি প্রথমে লাল রঙের পিচবোর্ডের উপর সবুজ ও হলুদ রঙের পিচবোর্ডগুলি পাশের ছবির মতো রাখলাম। এবার নীল রঙের পিচবোর্ডটি পাশের ছবির মতো রাখলাম। এবার কী কী পেলাম দেখি।

AIPM বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $(a-b)$ একক।

$\therefore$ AIPM বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $(a-b)^2$ বর্গএকক।

ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $a^2$ বর্গএকক। EMDF বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $b^2$ বর্গএকক।

IBCJ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $a \times b$ বর্গএকক।

EPJF আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $b \times a$ বর্গএকক।

$\therefore$ AIPM বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

$= \text{ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল} + \text{EMDF বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল} - \text{IBCJ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল} - \text{EPJF আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল}$

$\therefore (a-b)^2 \text{ বর্গএকক} = (a^2+b^2-ab)$ বর্গএকক

$= (a^2+b^2 - 2ab)$ বর্গএকক [$\therefore ab = ba$]

$\therefore (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ বর্গএকক

হাতেকলমে ও বীজগাণিতিক সংখ্যামালা গুণ করে পেলাম $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

a = 7 সেমি. ও $b = 4$ সেমি. দৈর্ঘ্যের বর্গাকার ও আয়তাকার পিচবোর্ডগুলি তৈরি করে সাজিয়ে পাব-

$(7+4)^2 = 7^2 + 2 \times 7 \times 4 + 4^2$

দেখছি, $(7+4)^2 = 11^2 = 121$ এবং $7^2 + 2 \times 7 \times 4 + 4^2$

$= 49 + 56 + 16$

$= 105 + 16 = 121$

$\therefore (7+4)^2 = 7^2 + 2 \times 7 \times 4 + 4^2$

অধ্যায় : 12

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

$a = 5$ সেমি. ও $b = 3$ সেমি. দৈর্ঘ্য নিয়ে বর্গাকার ও আয়তাকার পিচবোর্ডগুলি তৈরি করে সাজিয়ে পাব -

$(5-3)^2 = 2^2 = 4$ এবং $5^2 - 2 \times 5 \times 3 + 3^2$

$= 25 - 30 + 9$

$= 34 - 30 = 4$

$\therefore (5-3)^2 = 5^2 - 2 \times 5 \times 3 + 3^2$

a ও b যে কোন সংখ্যা যাচাই করি।

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ – (I)

$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ – (II)

[নিজে করি]

তাই (I) ও (II) দুটি অভেদ। যে কোনো দুটি সংখ্যামালা যদি '$\ne$'- চিহ্নের দুই পাশে থাকে ও দুপাশের মান চলের যেকোনো মানের জন্য সমান হয় তখন সেটিকে অভেদ বলা হয়।

1. নং সূত্রে $b$ এর জায়গায় $(-b)$ বসিয়ে কি পাই দেখি।

$\{a+(-b)\}^2 = a^2+2a \times (-b) + (-b)^2$

$\therefore (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ অর্থাৎ (II) নং সূত্র পেলাম।

1. এবার $(a+b)^2$ ও $(a-b)^2$ যোগ করে কি পাই দেখি।

$(a+b)^2 + (a-b)^2$

$= a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2$

$= a^2+a^2+b^2+b^2+2ab-2ab$

$= 2a^2+2b^2$

$= 2(a^2+b^2)$

$\therefore (a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$

2. $a=2, b=7$ দিয়ে $\Box$ নির্ণয় করি। $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$ যাচাই করি।

$(a+b)^2 = (2+7)^2 = 9^2 = 81$

$(a-b)^2 = (2-7)^2 = (-5)^2 = 25$

$(a+b)^2 + (a-b)^2 = 81+25 = 106$

আবার $2(a^2+b^2) = 2(2^2+7^2)$

$= 2\{4+49\} = 2 \times 53 = 106$

$\therefore (a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$

a ও b এর অন্য মান নিয়ে যাচাই করি, $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$ (নিজে করি)

অধ্যায় : 12

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

2. $(a+b)^2 - (a-b)^2$ কী পাই দেখি।

$(a+b)^2 - (a-b)^2 = (a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2)$

$= a^2+2ab+b^2 - a^2+2ab-b^2$

$= 4ab$

$\therefore (a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$

a = -6, b = 3 দিয়ে $(-a)^2-(a-b)^2 = -4ab$ পাই কিনা দেখি।

$(a+b)^2 - (a-b)^2 = (-6+3)^2 - (-6-3)^2$

$= (-3)^2 - (-9)^2$

$= 9 - 81 = -72$

$4 \times a \times b = 4 \times (-6) \times 3 = -72$

$\therefore (a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ পেলাম।

a ও b -এর অন্য যেকোনো মান নিয়ে যাচাই করি $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ (নিজে করি)

$4ab = (a+b)^2 - (a-b)^2$

$\frac{4ab}{4} = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4}$ [উভয়পক্ষকে 4 দিয়ে ভাগ করে পাই]

$\therefore ab = \frac{(a+b)^2}{4} - \frac{(a-b)^2}{4}$

$ab = (\frac{a+b}{2})^2 - (\frac{a-b}{2})^2$

$\therefore ab = (\frac{a+b}{2})^2 - (\frac{a-b}{2})^2$ (I)

3. (I) নং -এ $a = x$ ও $b = y$ বসিয়ে কি পাই দেখি।

$(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$

4. আবার (I) নং -এ যদি, $a=x$ ও $b=-y$ বসাই তাহলে কি পাই দেখি।

$(x-y)^2 = x^2 + 2x \times (-y) + (-y)^2$

$= x^2 - 2xy + y^2$

5. আবার (I) নং এ যদি, $a=3x$ ও $b=5y$ বসাই তাহলে কি পাই দেখি।

$(3x+5y)^2 = (3x)^2 + 2 \times (3x) \times (5y) + (5y)^2$

$= 9x^2 + 30xy + 25y^2$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 12

6. (I) নং -এর সাহায্যে সহজে $(101)^2$-এর মান খুঁজি।

$(101)^2 = (100+1)^2$

$= (100)^2 + 2 \times 100 \times 1 + (1)^2$

$= \Box$ [নিজে করি]

7. যদি (I) নং -এ, $a=x$ ও $b=y+z$ বসাই তাহলে কি পাই দেখি।

$\{x+(y+z)\}^2 = x^2+2x(y+z)+(y+z)^2$

$= x^2+2xy+2xz+y^2+2yz+z^2$

$= x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx$

$\therefore (x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx$

8. (I) নং -এ $a=\frac{x}{2}, b=\frac{y}{2}$ বসিয়ে পাই-

$(\frac{x}{2}+\frac{y}{2})^2 = (\frac{x}{2})^2 + 2 \times \frac{x}{2} \times \frac{y}{2} + (\frac{y}{2})^2$

$= \frac{x^2}{4} + \frac{xy}{2} + \frac{y^2}{4}$

9. (I) নং -এ $a=2, b=3$ এবং $c=4$ বসিয়ে যাচাই করি।

$(a+b+c)^2 = (2+3+4)^2 = 9^2 = 81$

আবার, $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca = 2^2+3^2+4^2+2 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 4 + 2 \times 4 \times 2$

$= 4+9+16+12+24+16 = 81$

$\therefore (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

নিজে করি – 12.1

$(a+b)^2 + (a-b)^2$ -এর সাহায্যে নীচের সংখ্যামালাগুলির বর্গ নির্ণয় করতে হলে $a$ ও $b$ -এর জায়গায় কী কী নিলাম লিখি এবং বর্গ নির্ণয় করি।

• (i) $x+3$
• (ii) $p+9$
• (iii) $6-x$
• (iv) $y-2$
• (v) $mn+12$
• (vi) $6x+3$
• (vii) $4x+5y$
• (viii) $pq^2 + 2$
• (ix) $\frac{x}{3} + \frac{3}{x}$
• (x) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$
• (xi) $\frac{p}{q} + \frac{q}{p}$
• (xii) $m^2+n^2$
• (xiii) $3xy + 4z$
• (xiv) $2x+3y+z$
• (xv) $102$
• (xvi) $p+q+r+s$

অধ্যায় : 12

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ – (II)

10. (II) নং -এ $a=x$ ও $b=y$ বসিয়ে কি পাই দেখি।

$(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$

11. এবার (II) নং -এ $a=x$ ও $b=-y$ বসিয়ে কি পাই দেখি।

$\{x-(-y)\}^2 = x^2-2x(-y)+(-y)^2$

$= x^2+2xy+y^2$

12. (II) নং -এ $a=\frac{m}{2}$ ও $b=\frac{n}{5}$ বসাই তাহলে কি পাই দেখি।

$(\frac{m}{2}-\frac{n}{5})^2 = (\frac{m}{2})^2 - 2 \times \frac{m}{2} \times \frac{n}{5} + (\frac{n}{5})^2$

$= \frac{m^2}{4} - \frac{mn}{5} + \frac{n^2}{25}$

13. যদি (II) নং -এ $a=6x$, এবং $b= -7y$ বসাই তাহলে কি পাই দেখি।

$\{6x - (-7y)\}^2 = (6x)^2 - 2 \times 6x (-7y) + (-7y)^2$

$= 36x^2 + 84xy + 49y^2$

14. এবার (II) নং -এ $a=x$ ও $b=z$ বসিয়ে কি পাই দেখি।

$\{x+(-y)-z\}^2 = (x+y-z)^2 - 2x(x+y-z) + (y+z)^2$

$= x^2+y^2+z^2 - 2xy - 2xz + 2yz$

$= \Box$ [নিজে করি]

15. (II) নং -এর সাহায্যে সহজে $(99)^2$-এর মান খুঁজি।

$(99)^2 = (100-1)^2$

$= (100)^2 - 2 \times 100 \times 1 + (1)^2$

$= \Box$ [নিজে করি]

নিজে করি – 12.2

$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ -এর সাহায্যে নীচের সংখ্যামালাগুলির বর্গ নির্ণয় করতে হলে $a$ ও $b$ -এর জায়গায় কী কী নিলাম লিখি এবং বর্গ নির্ণয় করি।

• (i) $(x-3)$
• (ii) $10-x$
• (iii) $x+y$
• (iv) $3x-y$
• (v) $4m+2$
• (vi) $5y+x$
• (vii) $cf-fg$
• (viii) $ee-fg$
• (ix) $px - \frac{1}{2}x$
• (x) $p+q-r$
• (xi) $p-q+r$
• (xii) $\frac{2x}{3} - \frac{3y}{4}$
• (xiii) $3m^2 - 4n^2$
• (xiv) $2x+y-z$
• (xv) $999$
• (xvi) $p+q+r-s$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 12

$(a+b)^2 = \Box + 2ab + \Box$ – (I)

এবং $(a-b)^2 = \Box - 2ab + \Box$ – (II)

16. $4x^2 + 12xy + 9y^2$-কে পূর্ণবর্গাকারে লিখি এবং $a$ ও $b$-এর মান কী পেলাম লিখি।

$4x^2+12xy+9y^2$

$= (2x)^2 + 2 \times 2x \times 3y + (3y)^2$ [এখানে $a = 2x, b = 3y$]

$= (2x+3y)^2$ [(I) নং থেকে পেলাম]

17. $4a^2 + 4 + \frac{1}{a^2}$ বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে পূর্ণবর্গাকারে লিখি ও মান বের করি যখন $a = -\frac{1}{2}$

$4a^2 + 4 + \frac{1}{a^2}$

$= (2a)^2 + 2 \times 2a \times \frac{1}{a} + (\frac{1}{a})^2$

$= (2a + \frac{1}{a})^2$ [(I) নং সূত্র থেকে পেলাম]

$= (2 \times (-\frac{1}{2}) + \frac{1}{-\frac{1}{2}})^2$ [$a = -\frac{1}{2}$ বসিয়ে পাই]

$= (-1 - 2)^2 = (-3)^2 = 9$

18. উপরের (II) নং -এর সাহায্যে

$(3a+2b)^2 - 2(3a+2b)(a+2b) + (a+2b)^2$-এর সরল করি।

$(3a+2b)^2 - 2(3a+2b)(a+2b) + (a+2b)^2$

ধরি, $3a+2b = x, a+2b = y$

$= x^2 - 2xy + y^2$

$= (x-y)^2$ [(II) নং সূত্র থেকে পেলাম]

$= \{(3a+2b) - (a+2b)\}^2$ [$x = 3a+2b$ এবং $y = a+2b$ বসিয়ে পাই]

$= (3a+2b - a-2b)^2$

$= (2a)^2 = 4a^2$

অধ্যায় : 12

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

19. আমি $x^2y^2 - 10xyz + 25z^2$ বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে পূর্ণবর্গাকারে সাজাই ও মান বের করি যখন $x=1, y=-1$ ও $z=2$ বসাই।

$x^2y^2 - 10xyz + 25z^2$

$= (xy)^2 - 2 \times xy \times 5z + (5z)^2$

$= (xy - 5z)^2$ [(II) নং সূত্র থেকে পেলাম]

এবার দেখি $x=1, y=-1$ ও $z=2$ বসিয়ে কি মান পাই। (নিজে করি)

কষে দেখি – 12.1

1. $(a+b)$ কে $(a+b)$ দিয়ে গুণ করে গুণফলটি নীচের কোনটি হবে দেখি।

• (i) $a^2+b^2$
• (ii) $(a+b)^2$
• (iii) $2(a+b)$
• (iv) $4ab$

2. $(x+7)^2 = x^2+14x + k$ হলে $k$-এর মান নীচের কোনটি হবে লিখি।

• (i) 14
• (ii) 49
• (iii) 7
• (iv) কোনটিই নয়।

3. $a^2+b^2$-এর সাথে কোন্ বীজগাণিতিক সংখ্যামালা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যামালা হবে তা লিখি।

• (i) $4ab$
• (ii) $-4ab$
• (iii) $2ab$ বা $-2ab$
• (iv) 0

4. $(a+b)^2 = a^2+6a+9$ হলে $b$-এর ধনাত্মক মান নীচের কোনটি হবে লিখি।

• (i) 9
• (ii) 6
• (iii) 3
• (iv) -3

5. $x^2+\frac{1}{x^2}$ -এর সঙ্গে কোন্ কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যামালা হবে তা লিখি।

• (i) $\frac{1}{64}$
• (ii) $- \frac{1}{64}$
• (iii) $\frac{1}{8}$
• (iv) কোনটিই নয়।

6. (i) $k$-এর কোন্ মান বা মানগুলির জন্য $c^2 + kc + \frac{1}{9}$ পূর্ণবর্গ হবে লিখি।

(ii) $9p^2 + \frac{1}{9p^2}$ সংখ্যামালাটি থেকে কোন্ সংখ্যা বা সংখ্যাগুলি বিয়োগ করলে বিয়োগফল পূর্ণবর্গ হবে তা নির্ণয় করি।

(iii) $(x-y)^2 = 4 - 4y^2$ হলে $x$-এর মান কত হবে তা নির্ণয় করি।

অধ্যায় : 12

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

(iv) $(c-3)^2 = c^2+kc+9$ হলে $k$-এর মান কী হবে লিখি।

7. সূত্রের সাহায্যে সরল করি।

• (i) $(2q-3z)^2 - 2(2q-3z)(q-3z) + (q-3z)^2$
• (ii) $(3p+2q-4r)^2 + 2(3p+2q-4r)(4r-2p-q) + (4r-2p-q)^2$

8. পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করি।

• (i) $16a^2 - 40ac + 25c^2$
• (ii) $4p^2 - 2p + \frac{1}{4}$
• (iii) $1 + \frac{4}{a} + \frac{4}{a^2}$
• (iv) $9a^2 + 24ab + 16b^2$

9. পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করে মান নির্ণয় করি।

• (i) $64a^2 + 16a + 1$ যখন $a=1$
• (ii) $25a^2 - 30ab + 9b^2$ যখন $a=3$ এবং $b=2$
• (iii) $64 - \frac{16}{p} + \frac{1}{p^2}$ , যখন $p=-1$
• (iv) $p^2q^2 + 10pqr + 25r^2$ যখন $p=2, q=-1$ ও $r=3$

10. $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$ এবং $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ বা

$ab = (\frac{a+b}{2})^2 - (\frac{a-b}{2})^2$ -এর সাহায্যে

• (i) $st$
• (ii) $(s^2+t^2)$ মান লিখি যখন $s+t=12$ ও $s-t=8$
• (iii) $8xy (x^2+y^2)$ -এর মান লিখি যখন $(x+y)=5$ এবং $(x-y)=1$
• (iv) $x^2+y^2$ -এর মান লিখি যখন $(x+y)=9$ এবং $(x-y)=5$
• (v) $2xy$

(iv) 36 -কে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করি। [সংকেত, $36 = 4 \times 9$]

$(\frac{4+0}{2})^2 - (\frac{4-0}{2})^2$

(v) 44 কে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করি।

(vi) $8x^2+50y^2$ কে দুটি বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করি।

(vii) $x$ কে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করি।

অধ্যায় : 12

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

বীজগাণিতিক সংখ্যামালা দুটি গুণ করি ও কী পাই দেখি

$(x+5) \times (x+3)$ কী পাই দেখি।

$(x+5) \times (x+3)$

$= x^2 + 3x + 5x + 15$

$= x^2 + 8x + 15$

$\therefore (x+5) \times (x+3) = x^2 + 8x + 15$ – (IV)

এবার (IV) নং -এর সমান চিহ্নের দুপাশে $x = 6$ বসিয়ে কী পাই দেখি।

বামদিকে $x = 6$ বসিয়ে পাই, $(6+5) \times (6+3) = 11 \times 9 = 99$

আবার ডানদিকে $x = 6$ বসিয়ে পাই, $6^2 + 8 \times 6 + 15 = 36 + 48 + 15 = 99$

পেলাম, $(6+5) \times (6+3) = 6^2 + 8 \times 6 + 15$

$x$-এর যে কোনো মানের জন্য,

$(x+5) \times (x+3) = x^2+8x+15$ -এর সমান চিহ্নের দুপাশে মান সমান হয়।

এবার আমি বুঝেছি,

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

$(a+b)^2+(a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$

$(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$

এরা সবাই অভেদ।

20. এবার $(x+a)$ ও $(x+b)$ এর গুণফল কত দেখি।

$(x+a) \times (x+b) = x \times (x+b) + a \times (x+b)$

$= x^2 + bx + ax + ab$

$= x^2 + (a+b)x + ab$

পেলাম $(x+a)(x+b) = x^2+(a+b)x+ab$ – (V)

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 12

21. (V) নং অভেদে $x=-2$ বসিয়ে পাই

$(-2+a)(-2+b) = (-2) \times (-2) + (-2)b + a(-2) + ab$

$= 4 - 2b - 2a + ab$

$= 4 - 2(b+a) + ab$

$(-2)^2 + a(-2) + (-2)b + ab = 4 - 2(a+b) + ab$

$\therefore (-2+a)(-2+b) = (-2)^2 + (-2)a + (-2)b + ab$

$(x+a)(x+b) = x^2+x(a+b)+ab$ -এই অভেদটি ব্যবহার করি।

22. নীচের সংখ্যামালাগুলির গুণফল বের করি।

• (i) $(x+2)(x+5)$
• (ii) $(x+3)(x-7)$
• (iii) $(x+1)(x+8)$
• (iv) $(x-6)(x+9)$
• (v) $(x+a)(x+b) = x^2+x(a+b)+ab$

এই অভেদে, $a=2$ ও $b=5$ বসিয়ে পাই,

$(x+2)(x+5) = x^2 + (2+5)x + 2 \times 5$

$= x^2+7x+10$

(ii) আবার অভেদে, $a=-3, b=-7$ বসিয়ে পাই,

$(x-3)(x-7) = x^2 + (-3-7)x + (-3)(-7)$

$= x^2 - 10x + 21$

[ (iii) ও (iv) নিজে করি ]

I নং ও II নং অভেদটি লিখি ও অন্যভাবে সাজাই।

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

$(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$

$(a+b)^2-(a-b)^2 = 4ab$

$\therefore a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab$ .......(VI)

$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

$(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab$

$\therefore (a-b)^2+2ab = a^2+b^2$ ........(VII)

$\therefore a^2+b^2 = (a-b)^2+2ab$

অধ্যায় : 12

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

(VI) ও (VII) -এর সাহায্যে বীজগাণিতিক সংখ্যামালার মান খোঁজার চেষ্টা করব।

23. ধরি $a+b=0$ এবং $ab=-25$; $a^2+b^2$-এর মান কী হবে হিসাব করি।

$(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$

মান বসিয়ে পাই, $0^2 = a^2+b^2+2 \times (-25)$

$0 = a^2+b^2-50$

$a^2+b^2 = 50$

$\therefore a^2+b^2 = 50$

দ্বিতীয় পদ্ধতি

$a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab$

$= (0)^2 - 2 \times (-25)$ [ $\therefore a+b = 0$ এবং $ab = -25$ ]

$= 0 + 50$

$= 50$

$\therefore a^2+b^2 = 50$

24. যদি $2p+\frac{1}{p}=5$ হয়, তাহলে $(p+\frac{1}{2p})^2$ এবং $p^2+\frac{1}{4p^2}$ এর মান বের করি।

$2p+\frac{1}{p} = 5$

$p+\frac{1}{2p} = \frac{5}{2}$

$(p+\frac{1}{2p})^2 = (\frac{5}{2})^2$ [উভয়দিকে বর্গ করে পাই]

$= \frac{25}{4}$

দ্বিতীয় পদ্ধতি

$2p+\frac{1}{p} = 5$

বা, $2(p+\frac{1}{2p}) = 5$

বা, $p+\frac{1}{2p} = \frac{5}{2}$

$\therefore (p+\frac{1}{2p})^2 = (\frac{5}{2})^2$ [উভয়দিকে বর্গ করে পাই]

$= \frac{25}{4}$

আবার, $(p+\frac{1}{2p})^2 = p^2+2 \times p \times \frac{1}{2p} + (\frac{1}{2p})^2$

$= p^2+1+(\frac{1}{2p})^2$

$p^2+\frac{1}{4p^2} = (\frac{5}{2})^2 - 1 = \frac{25}{4} - 1 = \frac{21}{4}$

$\therefore p^2+\frac{1}{4p^2} = \frac{21}{4}$

সুতরাং $p^2+\frac{1}{4p^2} = \Box$

অধ্যায় : 12

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

25. $6(x-\frac{1}{x})=5$ হলে $x^2+\frac{1}{x^2}$-এর মান কত হবে হিসাব করি।

$6x - 6 \times \frac{1}{x} = 5$

বা, $x-\frac{1}{x} = \frac{5}{6}$

$(x-\frac{1}{x})^2 = (\frac{5}{6})^2$ [উভয়দিকে বর্গ করে পাই]

বা, $x^2 - 2 \times x \times \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = \frac{25}{36}$

বা, $x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = \frac{25}{36}$

বা, $x^2 + \frac{1}{x^2} = \frac{25}{36} + 2$ [উভয়দিকে 2 যোগ করে পাই]

$\therefore x^2+\frac{1}{x^2} = \frac{25}{36} + \frac{72}{36} = \frac{97}{36}$

26. $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}=3$ হলে, $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}$-এর মান দেখি।

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 3$

$(\frac{x}{y} + \frac{y}{x})^2 = 3^2$ [উভয়দিকে বর্গ করে পাই]

বা, $(\frac{x}{y})^2 + 2 \times \frac{x}{y} \times \frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^2 = 9$

বা, $\frac{x^2}{y^2} + 2 + \frac{y^2}{x^2} = 9$

বা, $\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} = 9 - 2 = 7$

$\therefore \frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} = 7$

27. $(a+b)^2$-কে $(a-b)^2$ দিয়ে প্রকাশ করার চেষ্টা করি।

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 = a^2+2ab+b^2 - 4ab + 4ab = (a^2-2ab+b^2) + 4ab = (a-b)^2 + 4ab$

28. $(a-b)^2$-কে $(a+b)^2$ দিয়ে প্রকাশ করার চেষ্টা করি।

$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 = a^2-2ab+b^2 + 4ab - 4ab = (a^2+2ab+b^2) - 4ab = (a+b)^2 - 4ab$

অধ্যায় : 12

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

পেলাম, $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$ --- (VIII)

$(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$ --- (IX)

29. (VIII) ও (IX) -এর সাহায্যে $m+n=10$ ও $mn=9$ হলে $(m-n)$-এর ধনাত্মক মান হিসাব করার চেষ্টা করি।

$(m-n)^2 = (m+n)^2 - 4mn = (10)^2 - 4 \times 9 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

$\therefore m-n = \sqrt{8^2} = 8$

কষে দেখি – 12.2

1. $(x+a)(x+b) = x^2+(a+b)x+ab$ -এই অভেদের সাহায্যে নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি গুণ করি।

• (i) $(x+7)(x+1)$
• (ii) $(x-8)(x-2)$
• (iii) $(x+9)(x-6)$
• (iv) $(2x+1)(2x-1)$
• (v) $(xy-4)(xy+2)$
• (vi) $(a^5+5)(a^5-4)$

2. সূত্রের সাহায্যে দেখাই যে-

• (i) $(2x+3y)^2 - (2x-3y)^2 = 24xy,$
• (ii) $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2+4b^2)$
• (iii) $(l+m)^2 = (l-m)^2 + 4lm,$
• (iv) $(2p-q)^2 = (2p+q)^2 - 8pq$
• (v) $(3m+4n)^2 = (3m-4n)^2 + 48mn$
• (vi) $(6x+7y)^2 - 84xy = 36x^2 + 49y^2$
• (vii) $(3a-4b)^2 + 24ab = 9a^2+16b^2$
• (viii) $(2a+\frac{1}{a})^2 = (2a-\frac{1}{a})^2+8$

3. প্রতিক্ষেত্রে সূত্রের সাহায্যে সমাধান করি।

• (i) $x-y=3, xy=28$ হলে $x^2+y^2$-এর মান কত লিখি।
• (ii) $a+b=52, a-b=2$ হলে, $ab$-এর মান কত লিখি।
• (iii) $l^2+m^2=13$ এবং $l+m=5$ হলে $lm$-এর মান কত লিখি।
• (iv) $a+\frac{1}{a}=4$ হলে $a^2+\frac{1}{a^2}$-এর মান কত লিখি।
• (v) $a-\frac{1}{a}=4$ হলে $a^2+\frac{1}{a^2}$-এর মান কত লিখি।
• (vi) $5x+\frac{1}{x}=6$ হলে দেখাই যে $25x^2+\frac{1}{x^2} = 26$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 12

• (vii) $2x+\frac{1}{5x}=4$ হলে $x^2+\frac{1}{25x^2}$-এর মান লিখি।
• (viii) $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=3$ হলে $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}$-এর মান লিখি।
• (ix) $x^2+y^2=4xy$ হলে প্রমাণ করি যে $x^4+y^4 = 14x^2y^2$
• (x) $2a+\frac{1}{3a}=6$ হলে $4a^2+\frac{1}{9a^2}$-এর মান কত লিখি।
• (xi) $5a+\frac{7a}{7b}=5$ হলে $25a^2+\frac{49a^2}{49b^2}$-এর মান কত লিখি।
• (xii) $2x-\frac{1}{4x}=4$ হলে $x^2+\frac{1}{16x^2}$-এর মান লিখি।
• (xiii) $m+\frac{1}{m}= -p$ হলে দেখাই যে $m^2+\frac{1}{m^2}=p^2-2$
• (xiv) $a^2+b^2=5ab$ হলে দেখাই যে, $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}=23$
• (xv) $6x^2-1=4x$ হলে দেখাই যে $36x^2+\frac{1}{x^2}=28$
• (xvi) $m+\frac{1}{m}=p-2$ হলে দেখাই যে $m^2+\frac{1}{m^2}=p^2-4p+6$
• (xvii) $m-\frac{2}{m}=6$ হলে $(m-2)^2+\frac{1}{m^2}$-এর মান কত লিখি।

হাতেকলমে

বর্গাকার ও আয়তাকার কাগজ কেটে ও জুড়ে করার চেষ্টা করি।

A সেমি. দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট একটি লাল রঙের বর্গাকার পিচবোর্ড ABCD কেটে নিলাম।

A    D

a

B    C

$a^2$ বর্গসেমি.

তাই, ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $a^2$ বর্গসেমি.। [ধরি, a = 6 সেমি.]

এবার $b$ সেমি. দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট একটি লাল রঙের বর্গাকার পিচবোর্ড EFGH কেটে নিলাম।

EFGH বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $b^2$ বর্গসেমি.। [ধরি, b = 2 সেমি.]

E    H

b

F    G

$b^2$ বর্গসেমি.

অধ্যায় : 12

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

এবার পাশের ছবির মতো ABCD বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডের উপরে EFGH বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ড রাখলাম।

A    b    D

E    b    F

B      C

a-b   b

a

এবার পাশের ছবির মতো G ও C বিন্দু দুটি যোগ করলাম। এবার GC বরাবর কাঠি দিয়ে কেটে দুটি ট্রাপিজিয়াম HGCD ও GFBC পেলাম ও আলাদা সরিয়ে রাখলাম।

F    G

a-b

B    C

b

D

b

C   E   F

a

ছবি - 1

HGCD ও GFBC ট্রাপিজিয়াম দুটি পাশের ছবির মতো সাজিয়ে করলাম।

H     D

b

a-b

C    G

B    F

a

কী পেলাম দেখি।

ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $a^2$ বর্গসেমি.

EFGH বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $b^2$ বর্গসেমি.

ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল - EFGH বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =

ট্রাপিজিয়াম (HDCG) -এর ক্ষেত্রফল + ট্রাপিজিয়াম (FGCB) -এর ক্ষেত্রফল [(1) নং ছবি থেকে]

HDFB আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = HB $\times$ HD

$= (a-b) \times (a+b)$

$= a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$

$= (a^2-b^2)$ [(2) নং ছবি থেকে]

এভাবে হাতেকলমে রঙিন কাগজ কেটে ও জুড়ে দেখলাম

$(a^2-b^2) = (a+b)(a-b)$ বা $(a+b)(a-b) = (a^2-b^2)$

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 12

30. $(a+b) \times (a-b)$ গুণ করে কী পাই দেখি।

$(a+b) \times (a-b) = (a+b)a - (a+b)b$

$= a^2+ba-ab-b^2$ [ $\therefore ba=ab$ ]

$= a^2-b^2$

পেলাম $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$

a = -2, b = 9 বসিয়ে কী পাই দেখি।

$(a+b) \times (a-b) = (-2+9) \times (-2-9) = 7 \times (-11) = -77$

$a^2-b^2 = (-2)^2 - (9)^2 = 4 - 81 = -77$

$\therefore (a+b)(a-b) = a^2-b^2$

a ও b এর যেকোনো মান বসিয়ে যাচাই করি $(a+b)(a-b) = (a^2-b^2)$ [নিজে করি]

আমারকমতাবে হাতেকলমে রঙিন কাগজ কাটি ও বড়ো পিচবোর্ডে আঁকি দেখি

A    a-b    H    D

E   b   G

F    C

(i) নং

A    D

I    E

F    G

a-b    b

(ii) নং

A    a-b    H    D

E   b   G

I    J

(H) B    F (E)

C

b

a

(iii) নং

ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল - EFCG ক্ষেত্রফল

$= \text{AHEI বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল} + \text{IBFE আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল} + \text{DHEG আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল}$

[(iii) নং ছবির মতো সাজিয়ে পেলাম]

$= \text{AH} \times \text{HG}$

$= (a-b) \times (a+b)$

$\therefore a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$

অধ্যায় : 12

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

বীজগাণিতিক সংখ্যামালা নিয়ে বিভিন্ন যে অভেদগুলি জানলাম সেগুলো লিখি ও তাদের মধ্যে সম্পর্ক খুঁজি।

$(a+b)^2 = (a^2+2ab+b^2)$ --- (i)

$(a-b)^2 = (a^2-2ab+b^2)$ --- (ii)

$(a+b)(a-b) = (a^2-b^2)$ --- (iii)

$(x+a)(x+b) = x^2+(a+b)x+ab$ --- (iv)

নিজে করি – 12.3

1. (iv) নং অভেদে $x=a$ এবং $a=b$ বসিয়ে (i) নং অভেদের মতো পাই কিনা দেখি।

2. (iv) নং অভেদে $x=a$ ও $a=-b$ বসিয়ে (ii) নং অভেদের মতো পাই কিনা দেখি।

3. (iv) নং অভেদে $x=a$ ও $a=-b$ বসিয়ে কোন অভেদটি পাই দেখি।

31. $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$ -এর সাহায্যে $78^2 - 22^2$ ও $94 \times 106$-এর মান বের করি।

(i) $78^2 - 22^2 = (78+22) \times (\Box - \Box)$

$= \Box \times 56 = 5600$

(ii) $94 \times 106 = (100 - \Box) (100 + \Box)$

$= \Box - \Box = \Box$

$= 9964$

32. সূত্রের সাহায্যে (i) $(p+5)(p-5)$ -কী পাই দেখি ও (ii) $81-a^2$-কে দুটি দ্বিপদী সংখ্যামালার গুণফল আকারে প্রকাশ করার চেষ্টা করি।

(i) $(p+5)(p-5) = p^2 - 5^2$

$= p^2 - 25$

(ii) $81-a^2 = (9)^2 - (a)^2$

$= (9+a)(9-a)$

অধ্যায় : 12

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

33. সূত্রের সাহায্যে $(2x+4y-3z)^2 - (2x-4y+3z)^2$-এর সরলতম মান বের করি।

$(2x+4y-3z)^2 - (2x-4y+3z)^2$

$= (2x+4y-3z + 2x-4y+3z) (2x+4y-3z - (2x-4y+3z))$

$= 4x \times \{2x+4y-3z-2x+4y-3z\}$

$= 4x \times (8y-6z)$

$= 32xy - 24xz$

34. সূত্রের সাহায্যে $(5m+2n+3p)(5m+2n-3p)$-এর গুণফল কী হবে লিখি।

$(5m+2n+3p)(5m+2n-3p)$

$= \{(5m+2n)+3p\} \{(5m+2n)-3p\}$

$= (a+b)(a-b)$   [ধরি, $5m+2n = a, 3p = b$]

$= (a^2-b^2)$

$= (5m+2n)^2 - (3p)^2$

$= 25m^2 + 20mn + 4n^2 - 9p^2$

35. সূত্রের সাহায্যে $(x+y)(x-y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$ এদের ক্রমিক (পরপর) গুণ করি ও কী পাই দেখি।

$(x+y)(x-y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$

$= (\Box - \Box) (x^2+y^2)(x^4+y^4)$

$= (x^2-y^2)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$

$= (\Box - \Box) (x^4+y^4)$

$= (x^4-y^4)(x^4+y^4)$

$= x^8-y^8$

অধ্যায় : 12

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

কষে দেখি—12.3

1. $(a^2-b^2)$ = $(a+b)$ $(a-b)$ এই সূত্রের সাহায্যে মান নির্ণয় করি।

• (i) $(37)^2-(13)^2$
• (ii) $(2.06)^2-(0.94)^2$
• (iii) $(78) \times (82)$
• (iv) $1.15 \times 0.85$
• (v) $(65)^2-(35)^2$

2. $(k-p)^2$ = $(9-p)$ হলে $k$-এর মান কত হবে বের করি।

• (ii) $(25-4x^2)$ = $(5+ax)$ $(5-ax)$ হলে $a$-এর ধনাত্মক মান কত হবে হিসাব করি।
• (iii) $(4-x) \times \Box = (16-x^2)$ হলে ফাঁকা ঘরে কি হবে লিখি।

3. সূত্রের সাহায্যে গুণফলরূপে প্রকাশ করি।

• (i) $25P - 16m^2$
• (ii) $49x^4 - 36y^4$
• (iii) $(2a+b)^2-(a+b)^2$
• (iv) $(x+y)^2-(x-y)^2$
• (v) $(x+y-z)^2-(x-y+z)^2$
• (vi) $(m+p+q)^2-(m-p-q)^2$

4. সূত্রের সাহায্যে ক্রমিক গুণফল নির্ণয় করি।

• (i) $(c+d)(c-d)(c^2+d^2)$
• (ii) $(1-3x^2)(1+3x^2)(1+9x^4)$
• (iii) $(a^2+b^2)(a^2-b^2)(a^4+b^4)(a^8+b^8)$

5. নিচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি গুণফলরূপে প্রকাশ করি।

• (i) $16c^4 - 81d^4$
• (ii) $p^4q^4 - r^4s^4$
• (iii) $81 - x^4$
• (iv) $625 - a^4b^4$

6. $(p+q)^4-(p-q)^4 = 8pq(p^2+q^2)$ – প্রমাণ করি।

7. সূত্রের সাহায্যে গুণ করি: $(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$

8. যদি $x = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ এবং $y = \frac{a}{b} - \frac{b}{a}$ হয়, তাহলে দেখাই যে, $x^4+y^4-2x^2y^2 = 16$

9. সূত্রের সাহায্যে গুণ করি: $(a^2+a+1)(a^2-a+1)(a^4-a^2+1)$

10. যদি $x=(a-\frac{1}{a})$ এবং $y=(a-\frac{1}{a})$ হয়, তাহলে $x^4+y^4-2x^2y^2$-এর মান সূত্রের সাহায্যে বের করি।

11. $(4x^2+4x+1-a^2+8a-16)$-কে দুটি বর্গের অন্তররূপে $(a^2-b^2$ আকারে) প্রকাশ করি।

12. $a^2 + \frac{1}{a^2} - 3$-কে দুটি বর্গের অন্তররূপে $(a^2-b^2$ আকারে) প্রকাশ করি।

অধ্যায় : 13

সমান্তরাল সরলরেখা ও ছেদকের ধারণা

আজ সারাদিন খুব বৃষ্টি হয়েছে। আমি ও আমার কিছু বন্ধু স্কুলে যেতে পারিনি। আমরা মাঠেও খেলতে পারি না।

তাই আজ আমি ও আমার বন্ধুরা সবাই মিলে আমাদের বাড়ির উঠোনে বসে পেন ও পেনসিল দিয়ে নানা ছবি আঁকব ও কাঠি দিয়ে কেটে বড়ো পিচবোর্ডে আটকাব।

জয়া আঁকল $\rightarrow$

সুজয় আঁকল $\rightarrow$

রেহানা আমাদের বামাদার গিলটা আঁকার চেষ্টা করল $\downarrow$

দেখছি জয়ার আঁকা মুখ খোলা কাঠির বিপরীত দিকে একজোড়া করে কোণ তৈরি হয়েছে।

এইরকম কোণকে কী বলব?

মুখ খোলা কাঠিতে দুই জোড়া বিপরীত কোণ দেখছি। সুজয়ের আঁকা রেললাইন। দুটি রেললাইন সমান্তরাল, কিন্তু অপর একটি লাইন ওদের ছেদ করে চলি গেছে। এইরকম লাইনকে কী বলব?

আমি একটি স্কেল বসিয়ে স্কেলের দুপাশে দুটি সমান্তরাল সরলরেখাংশ AB ও CD আঁকলাম। যাতে EF সরলরেখাংশকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে।

BC সরলরেখাংশ, দুটি বা বেশি সরলরেখাংশকে আলাদা আলাদা $\Box$ বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ছেদক বা ভেদক বলে।

তাই এই EF সরলরেখাংশকে AB ও CD সমান্তরাল সরলরেখাংশের ছেদক বলে।

কিন্তু দুইয়ের বেশি সমান্তরাল সরলরেখা কীভাবে আঁকব?

অধ্যায় : 13

সমান্তরাল সরলরেখা ও ছেদকের ধারণা

প্রথমে একটি স্কেল বসিয়ে স্কেলের দু-পাশে পেনসিল দিয়ে দাগ দিলাম ও স্কেল দ্বারা আঁকলাম। তারপর ওই স্কেলটি বসিয়ে আর একটি স্কেল দিয়ে CD সরলরেখাংশের সাথে অর্থাৎ আগের স্কেলের একটি বাহুর সাথে সম্পূর্ণভাবে মিলিয়ে বসাই। এরপর দ্বিতীয় স্কেলের আর একটি ধার বরাবর পেনসিল দিয়ে GH আঁকি। এবার স্কেল দুটি তুলে নিই। তারপর ছেদক দিয়ে আমরা অনেক কোণ তৈরি হয়েছি। এর ফলে অনেক কোণ তৈরি হয়েছে।

A    B

C    D

E    F    G    H

এই কোণগুলির মধ্যে সম্পর্ক জানার চেষ্টা করি।

গাগীর ছবি

C   E   D

F   G

A   B

4   1   2

3   8   5

6   7

A   E   B

C   F   D

G   H

4   1   2

3   8   5

6   7

গাগীর ছবি    জাকিরের ছবি

গাগীর ছবির AB ও CD সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল নয়। গাগীর ছবিতে কোণগুলির নাম দিলাম, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ও 8। গাগীর ছবির বিপরীত কোণ 1 ও 3 ; অন্য এক জোড়া বিপরীত কোণ 2 ও 4

অন্য দুইজোড়া বিপরীত কোণ নাম লিখি। [নিজে দিলাম]

আমার ছবির $\angle 2, \angle 5, \angle 8$ ও $\angle 3$ কোণগুলির একটি বাহু GH এবং কোণগুলি AB ও CD সরলরেখাংশ ও CD সরলরেখাংশ ও AB সরলরেখাংশ ও AB সরলরেখাংশ। এদের কী বলব?

অধ্যায় : 13

সমান্তরাল সরলরেখা ও ছেদকের ধারণা

গাগীর ছবির $\angle 1$ ও $\angle 5$ কোণদুটি ছেদকের একই পাশে আছে।

$\angle 1$ ও $\angle 5$ অনুরূপ কোণ, অন্য জোড়া অনুরূপ কোণ $\angle 4$ ও $\angle 8$ এবং বাকি আরও দু-জোড়া অনুরূপ কোণ $\angle 2, \angle 6$ ও $\Box$, $\Box$

আবার আমার ছবির $\angle 3$ ও $\angle 5$ অন্তস্থ কোণ দুটি ছেদকের বিপরীত দিকে আছে। এই কোণ দুটিকে কী বলব?

আমার ছবির $\angle 3$ ও $\angle 5$ কোণজোড়াকে একান্তর কোণ বলা হয়। অন্য জোড়া একান্তর কোণ $\angle 2$ ও $\angle 8$।

নীচের ছবির জোড়া কোণগুলির নাম লিখি।

1    2       3       4    6   5

7   8       9       10

নিজে করি

জাকিরের ছবিতে দেখি AB ও CD সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল এবং EF ছেদক বা ভেদক যথাক্রমে AB ও CD সরলরেখাংশকে G ও H বিন্দুতে ছেদ করেছে।

A    G   B

C    H   D

E    F

4   1   2   3

7   8   5   6

জাকিরের ছবির কোণগুলির নাম লিখি

$\angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4, \angle 5, \angle 6, \angle 7, \angle 8$

এবার কাঁচি দিয়ে কোণগুলি কেটে ফেলি ও একটির উপর একটি মিলিয়ে কী পাই দেখি।

$\angle 1 = \angle 3, \angle 2 = \angle 4 \rightarrow$ অর্থাৎ বিপ্রতীপ কোণগুলি সমান।

$\angle 1 = \angle 5, \angle 2 = \angle 6 \rightarrow$ অর্থাৎ $\Box$ কোণগুলি সমান।

$\angle 2 = \angle 8, \angle 3 = \angle 5$

অর্থাৎ $\Box$ কোণগুলি সমান।

অধ্যায় : 13

সমান্তরাল সরলরেখা ও ছেদকের ধারণা

রেহানা এই $\angle 2$ ও $\angle 5$ নিয়ে এক মজার ব্যাপার করল। পাশের ছবির মতো $\angle 2$ ও $\angle 5$ মিলিয়ে সরলরেখাংশ পেল।

2    5

অর্থাৎ দুটি সমান্তরাল সরলরেখার ছেদকের একই পাশে অন্তঃস্থ কোণদুটির সমষ্টি $\Box$ ডিগ্রি পেলাম।

কষে দেখি – 13

জাকিরের ছবির মতো গাগীর ছবির কোণগুলি কেটে আলাদা করলাম ও একটির উপর আর একটি কোণ বসিয়ে মেলালাম। কী পেলাম

(নিজে করি)

(নিজে করি)

অধ্যায় : 14

ত্রিভুজের ধর্ম

আজ স্কেল ও পেনসিল দিয়ে অনেকগুলি ত্রিভুজ আঁকল। ওই ত্রিভুজাকারক্ষেত্রগুলি কাঁচি দিয়ে কেটে ফেলল।

দেখছি, প্রতিটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু $\Box$ টি।

প্রতিটি ত্রিভুজের বাহু $\Box$ টি।

প্রতিটি ত্রিভুজের কোণ $\Box$ টি।

আমি একটি ত্রিভুজাকারক্ষেত্র নিলাম ও ভাঁজ করে প্রতিটি বাহুর মধ্যবিন্দু খুঁজি।

A    B    C    D

A    B    C

ত্রিভুজাকারক্ষেত্রের BC বাহুকে ভাঁজ করে B বিন্দুকে C বিন্দুতে মিলিয়ে BC বাহুর মধ্যবিন্দু D পেলাম।

আমি যদি A শীর্ষবিন্দু ও D মধ্যবিন্দু বরাবর ভাঁজ করে দিই কী পাব দেখি।

AD সরলরেখাংশকে $\triangle ABC$-এর মধ্যমা বলে।

মধ্যমা হল, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু [মধ্যমা] অর্থাৎ ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু ও বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোগকারী সরলরেখাংশ হলো ত্রিভুজের মধ্যমা।

আমি কাগজ ভাঁজ করে AC বাহুর মধ্যবিন্দু E ও বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু F যোগ করে মধ্যমা তৈরি করি।

আবার আমি কাগজ ভাঁজ করে ABC ত্রিভুজের AB বাহুর মধ্যবিন্দুকে E এবং BC বাহুর মধ্যবিন্দুকে F যোগ করে মধ্যমা তৈরি করি ও দেখি ABC ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি একটি বিন্দুতে মিলিত হয় কিনা।

অর্থাৎ, মধ্যমা তিনটি $\Box$।

নিজে করি – 14.1

সমবাহু, সমদ্বিবাহু ও বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্র কেটে নিয়ে একই ভাবে ভাঁজ করে মধ্যমা তৈরি করি এবং প্রতিটি ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি কী রকম লক্ষ করি।

অধ্যায় : 14

ত্রিভুজের ধর্ম

সাকির আয়সের মতো একটি ত্রিভুজ আঁকল ও কাগজ ভাঁজ না করে শুধুমাত্র কম্পাস ও স্কেলের সাহায্যে ওই ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর মধ্যবিন্দুকে যোগ করার চেষ্টা করল।

1. পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু বের করি।

P

B    D    C

Q

(i) প্রথমে পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে ABC ত্রিভুজের BC বাহুর B বিন্দুকে ও C বিন্দুকে কেন্দ্র করে BC বাহুর দৈর্ঘ্যের অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে BC উপরে ও নীচে দুটি করে বৃত্তচাপ আঁকলাম যারা পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করল।

(ii) P ও Q বিন্দু দুটি যোগ করলাম। PQ, BC কে D বিন্দুতে ছেদ করল। BC -এর মধ্যবিন্দু পেলাম D।

(iii) A ও D বিন্দু দুটি যোগ করে একটি মধ্যমা পেলাম। একইভাবে স্কেল ও পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে অপর দুটি মধ্যমা BE ও CF আঁকি।

একটি ত্রিভুজের $\Box$ মধ্যমা পেলাম। দেখি মধ্যমা তিনটি $\Box$।

সুতরাঙ তিনটি ত্রিভুজ আঁকল। ত্রিভুজ তিনটি সমকোণী, সমকোণী ও স্থূলকোণী।

**এই তিনটি ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো আঁকি ও দেখি এরা সমবিন্দু কিনা। [নিজে করি]**

আমি আনামদের রঙিন কাগজ দিয়ে ত্রিভুজাকারক্ষেত্র তৈরি করেছি ও সেগুলি কেটে আলাদা করে রেখেছি। এবার ঠিক করেছি ওই রঙিন ত্রিভুজাকারক্ষেত্রগুলি একটি বড়ো সাদা পিচবোর্ডে আটকাব।

কিন্তু প্রতিটি ত্রিভুজ আঁকানোর জন্য একটা আলাদা আয়তাকার জায়গা রাখা হবে।

প্রতিটি ত্রিভুজের উচ্চতা জানার জন্য আয়তাকার ক্ষেত্রফলকে কীভাবে ভাগ করব?

প্রতিটি ত্রিভুজের উচ্চতা মাপতে হবে অর্থাৎ ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর লম্বদূরত্ব মাপতে হবে।

প্রথমে প্রতিটি কাগজকে ত্রিভুজাকারক্ষেত্রকে A শীর্ষবিন্দু বরাবর এমনভাবে ভাঁজ করা হলো যাতে ভাঁজের দুই পাশে BC -এর দিকে দুইটি ধার এবং একই সরলরেখা থাকে। এইভাবে উচ্চতা পাওয়ার চেষ্টা করি।

A

B      C

A

B      C    D

অধ্যায় : 14

ত্রিভুজের ধর্ম

কিন্তু আয়সা শিখতে ভাঁজ করা যায় না।

স্কেলের সাহায্যে মেপে দেখলাম AD -এর দৈর্ঘ্য সবচেয়ে কম। চাঁদার সাহায্যে মেপে দেখলাম $\angle ADC = 90^\circ$

$\therefore$ ABC ত্রিভুজের A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর লম্ব।

এভাবে ABC ত্রিভুজের $\Box$ টি উচ্চতা আঁকি। $\Box$ টি উচ্চতা

ত্রিভুজাকারক্ষেত্র গুলি কাঁচি দিয়ে কেটে কাগজ ভাঁজ করে প্রতিটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুগুলির উপর লম্ব তিনটি সমবিন্দু কিনা দেখি।

আবার কোণভেদে ও বাহুভেদে অনেক ত্রিভুজ এঁকে ত্রিভুজাকারক্ষেত্র গুলি কাঁচি দিয়ে কেটে ফেলেছি। এগুলি ওই সাদা পিচবোর্ডে আটকানোর জন্য ফাঁকা আয়তাকার জায়গা রাখব, তাই প্রতিটি ত্রিভুজের উচ্চতা স্কেল ও পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে বের করার চেষ্টা করি।

2. প্রথমে পদের ত্রিভুজটি স্কেল ও পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে উচ্চতা বের করি।

A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর লম্ব আঁকব অর্থাৎ BC বাহুর বহিঃস্থদিক A থেকে বাহুর উপর লম্ব।

(i) প্রথমে পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে A বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের বৃত্তচাপ আঁকলাম যা বৃত্তচাপটি BC বাহুকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করল।

(ii) এবার পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে BC বাহুর যে দিকে A বিন্দু তার বিপরীত দিকে P ও Q বিন্দুকে কেন্দ্র করে PQ -এর দৈর্ঘ্যের অর্ধেকের বেশি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ আঁকি যা পরস্পরকে R বিন্দুতে ছেদ করল। স্কেল ও পেনসিলের সাহায্যে A ও R বিন্দু দুটি যোগ করলাম।

AR, BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করল।

AD হল ABC ত্রিভুজের উচ্চতা যা A শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহু BC -এর উপর লম্ব।

নিজে করি – 14.2

1) একটি ত্রিভুজের কতগুলি উচ্চতা পাব নিজে দেখি।

অধ্যায় : 14

ত্রিভুজের ধর্ম

2. একইভাবে স্কেল ও পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে বাহুভেদে ও কোণভেদে ত্রিভুজের উচ্চতাগুলি খুঁজি।

• i) কোন্ ত্রিভুজের সেই ত্রিভুজের একটি বাহু ও একই দেখি।
• ii) কোন্ ত্রিভুজের একটি উচ্চতা ও মধ্যমা একই সরলরেখাংশ পাব দেখি।

সুবীর যখন নানা রঙের ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রগুলি কাটছি, ফিজোও তখন একটি ছক কাগজ তৈরি করে ফেলল। মিমি তার নিজের আঁকা ত্রিভুজাকার ছক কাগজের উপরে পাশের ছবির মতো রাখল এবং তার চারপাশে পেনসিল দিয়ে দাগ দিল।

S    P

R   Q

X   Y   Z

M    N

1   2   3

4

ছক কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য = 1 সেমি.

$\therefore$ ছক কাগজের প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্র = 1 বর্গসেমি.

ছবিতে দেখছি দুটি মাপের অর্থাৎ PQR ত্রিভুজাকারক্ষেত্রের সমান করে PQR ত্রিভুজাকারক্ষেত্রটি কাটা। সমকোণী ত্রিভুজাকারক্ষেত্র PQR ও PSR পাশাপাশি অতিভুজ বরাবর মিলে একটি আয়তক্ষেত্র PQRS তৈরি করেছে যার দৈর্ঘ্য 6 সেমি. এবং প্রস্থ 4 সেমি.।

কিন্তু 1 নং ত্রিভুজাকারক্ষেত্র বা $\triangle PQR$ এর উচ্চতা = 4 সেমি. [ভূমি QR বাহু]

2 নং ত্রিভুজাকারক্ষেত্র বা $\triangle PSR$ এর উচ্চতা = 4 সেমি. [ভূমি SR বাহু]

3 নং ত্রিভুজাকারক্ষেত্র বা $\triangle APSR$ এর ভূমি = 6 সেমি. (SP বাহু)

$\therefore$ PQR ত্রিভুজাকৃতির ক্ষেত্রফল = PSR ত্রিভুজাকৃতির ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ PQRS আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

PQRS আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = QR $\times$ PQ = ভূমি $\times$ উচ্চতা

PQR ত্রিভুজাকৃতির ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা।

$= \frac{1}{2} \times 4 \times 6$ বর্গসেমি. = 12 বর্গসেমি.

অধ্যায় : 14

ত্রিভুজের ধর্ম

ছক কাগজ থেকে দেখছি, $\triangle PQR$-এর ক্ষেত্রফল = 12 বর্গসেমি. (প্রায়) [10 টি সম্পূর্ণ ঘর, 2 টি অর্ধেক বেশি বর্গঘর ও 2 টি অর্ধেকের কম বর্গঘর জুড়ে আছে।]

$\therefore$ ত্রিভুজাকারক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল উচ্চতা ও ভূমির দৈর্ঘ্যের উপর নির্ভর করে।

আমি 3 নং ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্র অর্থাৎ ABC ত্রিভুজাকারক্ষেত্রের ভূমি ও উচ্চতা মাপি।

$\triangle ABC$-এর ভূমি BC = 6 সেমি.

উচ্চতা AD = $\Box$ সেমি.

$\therefore \triangle ABC$-এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$

$= \frac{1}{2} \times 6 \times 3$ বর্গসেমি. = 9 বর্গসেমি.

ছক কাগজের ঘর গুনে পাই, $\triangle ABC$-এর ক্ষেত্রফল = 9 বর্গসেমি.। [6 টি সম্পূর্ণ বর্গঘর ও 6 টি অর্ধেক বর্গঘর]

4 নং ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের অর্থাৎ XYZ ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ভূমি (YZ) = $\Box$ সেমি.

এবং XYZ ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের উচ্চতা (XM) = $\Box$ সেমি.

$\therefore XYZ$ ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$

$= \frac{1}{2} \times \Box \times \Box = \Box$ বর্গসেমি.

ছককাগজ থেকে গুনে পাই, XYZ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 6 বর্গসেমি. (প্রায়)

কারণ $\triangle XYZ$ -এ 3 টি সম্পূর্ণ বর্গ, 1 টি অর্ধেকের বেশি বর্গ,

4 টি অর্ধেকের কম বর্গ ও 2 টি অর্ধেক বর্গ জুড়ে আছে।

$\therefore XYZ$ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল প্রায় 6 বর্গসেমি. এর সমান পেলাম।

নীচের ছককাগজ থেকে ঘর গুনে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত দেখি এবং ত্রিভুজগুলির ভূমি ও উচ্চতা মাপি এবং $\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$ -এর মান নির্ণয় করে দেখি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল উভয় ক্ষেত্রে সমান কিনা।

অধ্যায় : 14

ত্রিভুজের ধর্ম

1      2      3

4      5

কষে দেখি – 14

1. (i) একটি ত্রিভুজের কতগুলি মধ্যমা পাই লিখি।

(ii) একটি ত্রিভুজের মধ্যমাগুলি কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে লিখি।

(iii) একটি ত্রিভুজের কতগুলি উচ্চতা পাই লিখি।

(iv) একটি ত্রিভুজের উচ্চতাগুলি কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে লিখি।

(v) কোন্ ত্রিভুজের প্রতিটি উচ্চতা ও মধ্যমা একই তা লিখি।

2. কোণভেদে ও বাহুভেদে ত্রিভুজ আঁকি ও তাদের মধ্যমা এঁকে দেখি ত্রিভুজের মধ্যমা সর্বদা ত্রিভুজের ভিতরে কিনা (স্কেল ও পেনসিল কম্পাসের সাহায্য নিই)।

3. নীচের প্রতিটি ত্রিভুজের উচ্চতা মাপি (স্কেল ও পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে নিই)।

B   C   E   F   Q   R   E

A    D    P

4. কোণভেদে কোণভেদে ত্রিভুজ আঁকি। ত্রিভুজের উচ্চতা সর্বদা ত্রিভুজের ভিতরে থাকবে কিনা দেখি। (স্কেল ও পেনসিলের কম্পাসের সাহায্য নিই)

অধ্যায় : 15

সময় ও দূরত্ব

আমাদের স্কুলে প্রতিদিন সকাল 10টা 40 মিনিটে প্রার্থনা শুরু হয়। আমরা রোজ স্কুল সকাল 10টা 30 মিনিটে পৌঁছে নিজেদের শ্রেণিতে বইয়ের ব্যাগ রেখে প্রার্থনার জন্য স্কুলের বারান্দায় সারি করে দাঁড়াই।

তাই আমি প্রতিদিন সকাল 10:05-এ বাড়ি থেকে বেরিয়ে একইরকম গতিতে সাইকেল চালিয়ে সকাল 10:30-এ স্কুলে পৌঁছোই। অর্থাৎ আমি $(10 \text{টা } 30 \text{মি. } - 10 \text{টা } 05 \text{মি.}) = 25$ মিনিট সাইকেল চালিয়ে স্কুলে পৌঁছোই।

কিন্তু আজ বাড়ি থেকে বেরোতে 5 মিনিট দেরি হয়ে গেল। অর্থাৎ সকাল 10:10-এ বাড়ি থেকে বেরোলাম।

আজ কীভাবে স্কুলে 10:30-এ পৌঁছোব?

সাইকেল আরও তাড়াতাড়ি চালাতে হবে অর্থাৎ গতিবেগ কিছুটা বাড়াতে হবে। তাই $(10 \text{টা } 30 \text{মি.} - 10 \text{টা } 10 \text{মি.}) = 20$ মিনিট সাইকেল চালিয়ে স্কুলে পৌঁছোতে হবে।

বাড়ি থেকে স্কুলের দূরত্ব 4কিমি. = 4000 মিটার।

গতিবেগ কী?

একক সময়ে কোনো বস্তু নির্দিষ্ট দিকে যতটা দূরত্ব অতিক্রম করে সেটই ওই বস্তুর গতিবেগ।

প্রতিদিন আমার সাইকেলের গতিবেগ ঘণ্টায় কত কিমি হিসাব করি।

গণিতের ভাষায়,

গতিবেগ একই থাকলে বেশিসময়ে বেশি দূরত্ব অতিক্রম করব। তাই সময় ও দূরত্ব সরল সমানুপাতে আছে।

$\therefore 25 : 60 :: 4000 : \Box$

অধ্যায় : 15

সময় ও দূরত্ব

$\therefore \Box$ অর্থাৎ চতুর্থ সমানুপাতী = $\frac{4000 \times 60}{25} = 9600$

$\therefore$ গতিবেগ = 9600 মিটার/ঘণ্টা

অন্যভাবে পাই, 25 মিনিটে যায় 4000 মিটার

1 মিনিটে যায় $\frac{4000}{25}$ মিটার

60 মিনিটে যায় $\frac{4000}{25} \times 60 = 9600$ মিটার।

$\therefore$ প্রতিদিন আমার সাইকেলের গতিবেগ ছিল ঘণ্টায় 9600 মিটার বা 9600 মিটার/ঘণ্টা।

ঠিক সময়ে স্কুলে পৌঁছোনোর জন্য কিন্তু আজকে আমার সাইকেলের গতিবেগ কত করতে হয়েছিল হিসাব করি।

সাইকেলে 20 মিনিটে 4000 মিটার গিয়েছিলাম।

গণিতের ভাষায় পাই –

গতিবেগ একই থাকলে যেহেতু সময় বাড়লে অতিক্রান্ত দূরত্ব বাড়বে, তাই সময় ও দূরত্ব সরল সমানুপাতী।

$20 : 60 :: 4000 : \Box$

$\therefore \Box$ অর্থাৎ চতুর্থ সমানুপাতী = $\frac{4000 \times 60}{20} = 12000$

$\therefore$ সাইকেলের গতিবেগ ঘণ্টায় 12000 মিটার বা 12000 মিটার/ঘণ্টা।

সাইকেলের গতিবেগ ঘণ্টায় কত মিটার বাড়াতে হলো হিসাব করি -

12000 মিটার/ঘণ্টা - 9600 মিটার/ঘণ্টা = 2400 মিটার/ঘণ্টা

$\therefore$ আমার সাইকেলের গতিবেগ ঘণ্টায় 2400 মিটার বাড়াতে হয়েছিল।

অধ্যায় : 15

সময় ও দূরত্ব

আজ বিকালে আমার বোন একইরকম গতিতে সাইকেল চালিয়ে বাজারে 30 মিনিটে পৌঁছোয়।

1. যদি বাড়ি থেকে বাজারের দূরত্ব 4050 মিটার হয়, তবে বাজারে যাওয়ার সময়ে মিনিটে বোনের সাইকেলের গতিবেগ কত ছিল হিসাব করি।

গণিতের ভাষায় পাই –

30 মিনিটে যায় 4050 মিটার

1 মিনিটে যায় $\frac{4050}{30} = 135$ মিটার

$\therefore$ বোনের সাইকেলের গতিবেগ 135 মিটার/মিনিট

অন্যভাবে, 30 : 1 :: 4050 : $\Box$

$\therefore$ ($\Box$) বা চতুর্থ সমানুপাতী = $\frac{1 \times 4050}{30} = 135$

বোনের সাইকেলের গতিবেগ 135 মিটার/মিনিট

দেখছি, অতিক্রান্ত দূরত্বকে প্রয়োজনীয় সময় দিয়ে ভাগ করলে গতিবেগ পাওয়া যায়।

গতিবেগ = $\frac{\text{অতিক্রান্ত দূরত্ব}}{\text{প্রয়োজনীয় সময়}}$

2. কিন্তু বাজার থেকে বাড়ি ফেরার সময় বোন 150 মিটার/মিনিট বেগে সাইকেল চালিয়ে বাড়ি এল। তাই বাজার থেকে বাড়ি ফিরতে বোনের কত সময় লাগল হিসাব করি।

গণিতের ভাষায় পাই –

অধ্যায় : 15

সময় ও দূরত্ব

150 মিটার যায় 1 মিনিটে

1 মিটার যায় $\frac{1}{150}$ মিনিটে

4050 মিটার যায় $\frac{4050}{150}$ মিনিটে = 27 মিনিটে

অন্যভাবে,

গতিবেগ একই থাকলে যেহেতু বেশি দূরত্ব যেতে বেশি সময় লাগে, তাই সময় ও দূরত্ব সরল সমানুপাতী।

$150 : 4050 :: 1 : \Box$

চতুর্থ সমানুপাতী ($\Box$) = $\frac{4050 \times 1}{150} = 27$

সময় লাগে 27 মিনিট।

দেখছি, অতিক্রান্ত দূরত্বকে গতিবেগ দিয়ে ভাগ করে প্রয়োজনীয় সময় পাই।

$\therefore$ প্রয়োজনীয় সময় = $\frac{\text{অতিক্রান্ত দূরত্ব}}{\text{গতিবেগ}}$

3. কিন্তু 150 মিটার/মিনিট বেগে সাইকেল চালিয়ে 25 মিনিটে কতটা দূরত্ব যেতে পারব হিসাব করি।

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো,

গতিবেগ একই থাকলে সময় ও দূরত্ব সরল সমানুপাতী।

$1 : 25 :: 150 : \Box$

$\therefore$ ($\Box$) অথবা চতুর্থ সমানুপাতী = $25 \times 150 = 3750$। $\therefore$ 25 মিনিটে 3750 মিটার দূরত্ব যায়।

অন্যভাবে, 1 মিনিটে যায় 150 মিটার

25 মিনিটে যায় $150 \times 25$ মিটার = 3750 মিটার

দেখছি, প্রয়োজনীয় সময়কে গতিবেগ দিয়ে গুণ করে অতিক্রান্ত দূরত্ব পাব।

$\therefore$ অতিক্রান্ত দূরত্ব = গতিবেগ $\times$ প্রয়োজনীয় সময়

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 15

নিজে করি – নীচের ছক যেকোনো পদ্ধতিতে হিসাব করে পূরণ করার চেষ্টা করি –

আজ রবিবার। আমি খুব সকাল সকাল রুম থেকে উঠে বাগানের কিছু কাজ করে তাড়াতাড়ি 160 মিটার/মিনিট বেগে সাইকেল চালিয়ে আমার বন্ধু পরেশের বাড়ি গেলাম। পরেশের বাড়ি আমাদের বাড়ি থেকে 2.4 কিমি দূরে।

আজ আমি ও পরেশ স্টেশনে যাব অনুগ সারকে নিয়ে আসার জন্য।

4. কিন্তু পরেশের বাড়ি যাওয়ার পর আমার সাইকেল খারাপ হয়ে গেল। তাই আমি ও পরেশ রিকশায় চেপে স্টেশনে গেলাম। আমি সাইকেলে করে যে সময়ে পরেশের বাড়ি গিয়েছিলাম সেই সময়ে রিকশায় করে স্টেশনে গেলাম। রিকশার গতিবেগ ছিল মিনিটে 150 মিটার।

পরেশের বাড়ি থেকে স্টেশনের দূরত্ব কত হিসাব করি।

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো -

গতিবেগ বাড়ালে বা কমালে একই সময়ে বেশি দূরত্ব বা কম দূরত্ব অতিক্রম করব।

তাই গতিবেগ ও দূরত্ব সরল সমানুপাতে আছে।

$\therefore 160 : 150 :: 2400 : \Box$

$\therefore$ ($\Box$) বা চতুর্থ সমানুপাতী = $\frac{150 \times 2400}{160} = 2250$

$\therefore$ পরেশের বাড়ি থেকে স্টেশনের দূরত্ব 2250 মিটার।

অধ্যায় : 15

সময় ও দূরত্ব

5. কিন্তু স্টেশনে পৌঁছে দেখি, একটি 75 মিটার লম্বা ট্রেন কিছুক্ষণ পরে 4.5 সেকেন্ডে আমাকে অতিক্রম করে চলে গেল।

হিসাব করে দেখি এই ট্রেনটির গতিবেগ কত?

দেখছি, ট্রেনটি 4.5 সেকেন্ডে নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করেছে।

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি লিখে পাই –

গতিবেগ একই থাকলে সময় ও দূরত্ব সরল সমানুপাতী।

$\therefore 4.5 : 1 :: 75 : \Box$

$\therefore$ দূরত্ব = $\frac{75 \times 1}{4.5} = \frac{75 \times 10}{45} = \frac{750}{45} = \frac{50}{3}$ মিটার

$\therefore$ ট্রেনটির গতিবেগ $16 \frac{2}{3}$ মি./সেকেন্ড।

কিন্তু ওই ট্রেনটির ঘণ্টায় গতিবেগ কী হবে হিসাব করি।

ট্রেনটি 1 সেকেন্ডে যায় $\frac{50}{3}$ মিটার

ট্রেনটি $60 \times 60$ সেকেন্ডে যায় $\frac{50}{3} \times 60 \times 60$ মিটার = 60000 মিটার

$= \Box$ কিমি.

$\therefore$ ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় 60 কিমি.

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 15

6. কিন্তু ওই ট্রেনটি যদি আমাকে অতিক্রম না করে 125 মিটার লম্বা সেতুবর্গ অতিক্রম করত তবে কত সময় লাগত হিসাব করি।

যখন ট্রেনটি কোনো সেতু অতিক্রম করবে তখন ট্রেনটিকে অতিক্রম করতে হবে, ট্রেনটির নিজের দৈর্ঘ্য + সেতুর দৈর্ঘ্য। অর্থাৎ $\Box$ মিটার + 125 মিটার

= $\Box$ মিটার

= 200 মিটার

ট্রেনটির গতিবেগ পেয়েছি $\Box$ / সেকেন্ড।

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো –

গতিবেগ একই থাকলে সময় ও দূরত্ব সরল সমানুপাতী।

$\therefore \Box : \Box :: \Box : \Box$

$\therefore$ সময় = $\frac{200 \times 3}{50}$ সেকেন্ড = 12 সেকেন্ড

= 12 সেকেন্ড

অন্যভাবে,

$\frac{50}{3}$ মিটার যায় 1 সেকেন্ডে

1 মিটার যায় $\frac{1 \times 3}{50}$ সেকেন্ডে = $\frac{3}{50}$ সেকেন্ডে

200 মিটার যায় $200 \times \frac{3}{50} = 12$ সেকেন্ডে

ট্রেনটি 125 মিটার লম্বা সেতুকে অতিক্রম করত 12 সেকেন্ডে।

অধ্যায় : 15

সময় ও দূরত্ব

7. স্টেশনে দেখছি, 200 মিটার ও 240 মিটার লম্বা দুটি ট্রেন পাশাপাশি দুটি লাইনে ঘণ্টায় যথাক্রমে 42.5 কিমি ও 36.7 কিমি গতিবেগে পরস্পরের দিকে এগিয়ে আসছে।

হিসাব করে দেখি ট্রেন দুটি মিলিত হওয়ার কত সময় পরে পরস্পরকে অতিক্রম করবে।

ট্রেন দুটি মিলিত হওয়ার পরে পরস্পরকে অতিক্রম করবে অর্থাৎ ট্রেন দুটি একসাথে নিজেদের দৈর্ঘ্যের সমান দূরত্ব অতিক্রম করবে।

$\therefore$ ট্রেন দুটি অতিক্রান্ত দূরত্ব = 200 মি. + 240 মি.

= 440 মিটার।

প্রথম ট্রেনের গতিবেগ 42.5 কিমি. / ঘণ্টা = $\Box$ মিটার / ঘণ্টা।

দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ 36.7 কিমি. / ঘণ্টা = $\Box$ মিটার / ঘণ্টা।

প্রথম ট্রেন ও দ্বিতীয় ট্রেন পরস্পরের বিপরীত দিকে চললে 1 ঘণ্টায় মোট যাবে -

$42500$ মিটার + $36700$ মিটার = $\Box$ মিটার।

এখন গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো –

দূরত্ব ও সময় সরল সমানুপাতে আছে।

$\therefore \Box : \Box :: \Box : \Box$

তাই সময় লাগবে = 20 সেকেন্ড

$\therefore$ ট্রেন দুটি পরস্পরকে অতিক্রম করবে 20 সেকেন্ডে।

অন্যভাবে,

79200 মিটার যায় $60 \times 60$ সেকেন্ডে

1 মিটার যায় $\frac{60 \times 60}{79200}$ সেকেন্ডে

440 মিটার যায় $\frac{440 \times 60 \times 60}{79200} = \frac{440 \times 3600}{79200}$ সেকেন্ডে = 20 সেকেন্ডে

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 15

8. যদি ট্রেন দুটি আলাদা লাইনে একই দিকে যেত তবে প্রথম ট্রেনটি দ্বিতীয় ট্রেনটির সাথে মিলিত হওয়ার কত সময় পরে পরস্পরকে অতিক্রম করবে হিসাব করি।

যেহেতু ট্রেন দুটি একই দিকে যাচ্ছে,

প্রথম ট্রেন দ্বিতীয় ট্রেনের থেকে 1 ঘণ্টায় বেশি যায় $42500 \text{ মি.} - 36700 \text{ মি.} = 5800$ মিটার

ট্রেন দুটি মিলিত হওয়ার পরে প্রথম ট্রেনটির দ্বিতীয় ট্রেনকে অতিক্রম করতে মোট পথ অতিক্রম করতে হবে $\Box$ মিটার + $\Box$ মিটার = 440 মিটার

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো –

সময় ও দূরত্ব সরল সমানুপাতে আছে।

$\therefore 5800 : 440 :: 60 \times 60 : \Box$

$\therefore$ প্রয়োজনীয় সময় = $\frac{440 \times 60 \times 60}{5800}$ সেকেন্ড

$= \frac{7920}{29}$ সেকেন্ড = $273 \frac{3}{29}$ সেকেন্ড

নিজে করি – 15.1

স্টেশনে মাস্টারমশাইয়ের সাথে দেখা হওয়ার পরে আমি ও পরেশ মাস্টারমশাইয়ের সাথে চাঁদা চেপে 18 মিনিট অনুনাবাদিতে এলাম। ট্যাক্সির গতিবেগ 35 কিমি. / ঘণ্টা হলে স্টেশন থেকে অনুনাবাদির দূরত্ব কত ছিল হিসাব করি।

অধ্যায় : 15

সময় ও দূরত্ব

কষে দেখি – 15

1. আমি শনিবার 2 ঘণ্টায় 13 কিমি. / ঘণ্টা বেগে সাইকেল চালিয়ে কিছু পথ গেলাম। কিন্তু রবিবারও ওই একই সময়ে 11 কিমি. / ঘণ্টা বেগে সাইকেল চালিয়ে কিছু পথ গেলাম। শনি ও রবিবারের মধ্যে কোনদিন 2 ঘণ্টা সাইকেল চালিয়ে কত কিমি গেলাম হিসাব করি।

এখান থেকে সময় স্থির রেখে গতিবেগ ও অতিক্রান্ত দূরত্বের মধ্যে সম্পর্ক খুঁজি। (সরল না ব্যস্ত সমানুপাত)

2. আমি সোমবার বাজারে গেলাম 12 কিমি. / ঘণ্টা গতিবেগে সাইকেল চালিয়ে। কিন্তু মঙ্গলবার বাজারে গেলাম 15 কিমি. / ঘণ্টা গতিবেগে সাইকেল চালিয়ে। যদি বাড়ি থেকে বাজারের দূরত্ব 2 কিমি. হয়, তা হলে কবে বাজারে যেতে আমার কম সময় লাগল বা কত কম সময় লাগল হিসাব করি।

এখান থেকে দূরত্ব স্থির রেখে গতিবেগের সাথে প্রয়োজনীয় সময়ের সম্পর্ক খুঁজি। (সরল না ব্যস্ত সমানুপাত)

3. গতিবেগ স্থির রেখে সময়ের সাথে অতিক্রান্ত দূরত্বের সম্পর্ক খুঁজি (নিজে গল্প তৈরি করি ও সম্পর্ক খুঁজে লিখি)।

4. আমি বাসে 12 কিমি. 40 মিনিটে গেলাম। বাসের গতিবেগ ঘণ্টায় কত কিমি. হিসাব করি।

5. 100 মিটার লম্বা একটি ট্রেন ঘণ্টায় 60 কিমি. বেগে একটি গাছকে অতিক্রম করতে কত সময় নেবে হিসাব করে লিখি।

6. সমান গতিবেগে একটি ট্যাক্সি 6 ঘণ্টা 12 মিনিটে 217 কিমি. যায়। 273 কিমি. যেতে ট্যাক্সির কত সময় লাগবে হিসাব করি। (সম্পর্ক উল্লেখ করে হিসাব করি)

7. আজ আমাদের পাড়ার অনন্দা তার মোটরবাইকে 2 ঘণ্টা 5 মিনিটে 100 কিমি. দূরত্ব গিয়েছে। কিন্তু শিবুদা তার সাইকেলে ওই দূরত্ব 6 ঘণ্টা 40 মিনিটে গিয়েছে। মোটরবাইক ও সাইকেলের গতিবেগের অনুপাত হিসাব করি ও লিখি।

8. সমান গতিবেগে চলে একটি মালগাড়ি 2 ঘণ্টা 45 মিনিটে 49.5 কিমি. দূরের একটি স্টেশনে পৌঁছোয়। 58.5 কিমি. দূরের একটি স্টেশনে পৌঁছোতে ওই মালগাড়িটির কত সময় লাগবে হিসাব করি।

9. আমার ছোটো কাকা বাড়ি থেকে মোটরবাইকে সকাল ৭টায় গিয়ে এক ঘণ্টা কাজ সেরে বাড়ি ফিরে এলেন। তার মোট 3 ঘণ্টা 30 মিনিট সময় লাগল। যদি যাতায়াতে মোটরবাইকের গতিবেগ ঘণ্টায় 40 কিমি. হয় তবে বাড়ি থেকে পাঁচলার দূরত্ব কত ছিল হিসাব করি।

গণিতপ্রভা - সপ্তম শ্রেণি

অধ্যায় : 15

10. একটি বাস সকাল 7টা 30 মিনিটে কলকাতা থেকে রওনা হয়ে কোথাও না থেমে দুপুর 12টায় দিঘা পৌঁছোল। যদি বাসটির গতিবেগ ঘণ্টায় 45 কিমি. হয় তবে কলকাতা থেকে দিঘার দূরত্ব কত কিমি. হিসাব করি।

11. 70 মিটার লম্বা একটি ট্রেন ঘণ্টায় 75 কিমি. বেগে যায়। ওই ট্রেনটি কত সময়ে 105 মিটার লম্বা একটি প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করবে হিসাব করি।

12. 90 মিটার লম্বা একটি রেলগাড়ি একটি স্তম্ভকে 25 সেকেন্ডে অতিক্রম করল। আমি এই রেলগাড়িটির গতিবেগ ঘণ্টায় কত কিমি. হিসাব করে লিখি।

13. 250 মিটার লম্বা একটি সেতু অতিক্রম করতে 150 মিটার লম্বা একটি ট্রেন 30 সেকেন্ডে সময় লাগল। হিসাব করে দেখি ওই ট্রেনের 130 মিটার লম্বা একটি প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে।

14. একটি ট্রেনের একজন যাত্রী দেখলেন ট্রেনটি একটি প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে 15 সেকেন্ড সময় লাগল। ট্রেনটির গতিবেগ যদি ঘণ্টায় 60 কিমি. হয়, তবে প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য কত হিসাব করে লিখি।

15. একটি ট্রেন 4 সেকেন্ডে একটি টেলিগ্রাফ পোস্ট এবং 20 সেকেন্ডে 264 মিটার দীর্ঘ সেতু অতিক্রম করতে পারে। ওই ট্রেনটি ও সেতুর দৈর্ঘ্য হিসাব করি।

16. একটি ট্রেন 210 মিটার ও 122 মিটার দীর্ঘ দুটি সেতু যথাক্রমে 25 সেকেন্ডে ও 17 সেকেন্ডে অতিক্রম করেছে। হিসাব করে ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ও গতিবেগ লিখি।

17. ঘণ্টায় 48 কিমি. বেগে ধাবমান 100 মিটার লম্বা একটি ট্রেন 21 সেকেন্ডে পাহাড়ের ভিতর দিয়ে একটি সুরঙ্গ রাস্তা অতিক্রম করে। সুরঙ্গ রাস্তাটির দৈর্ঘ্য লিখি।

18. একটি ট্রেন 10 সেকেন্ডে 150 মিটার লম্বা প্ল্যাটফর্মের দাঁড়ানো একজন লোককে অতিক্রম করে এবং প্ল্যাটফর্মটি অতিক্রম করে 22 সেকেন্ডে। হিসাব করে ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ও গতিবেগ লিখি।

19. $\Box$ মিটার ও $\Box$ মিটার লম্বা দুটি ট্রেন পাশাপাশি দুটি লাইনে ঘণ্টায় যথাক্রমে $\Box$ কিমি. ও ঘণ্টায় $\Box$ কিমি. গতিবেগে পরস্পরের দিকে এগিয়ে আসছে। মিলিত হওয়ার পর কত সময়ে ট্রেন দুটি পরস্পরকে অতিক্রম করবে হিসাব করি। [নিজে সংখ্যা বসাই]

20. 250 মিটার লম্বা একটি মালগাড়ি ঘণ্টায় 33 কিমি. বেগে এগিয়ে চলেছে। পিছন থেকে অন্য আর একটি লাইন 200 মিটার লম্বা একটি মেল ট্রেন ঘণ্টায় 60 কিমি. বেগে এগিয়ে এসে মালগাড়িটিকে ধরার পর কত সময়ে সেটিকে অতিক্রম করবে হিসাব করি।

অধ্যায় : 16

দ্বি-স্তম্ভ লেখচিত্র

প্রতি বছরের মতো এবছরেও আমাদের স্কুল থেকে শিক্ষামূলক ভ্রমণের ব্যবস্থা করা হয়েছে।

এবছরেও ষষ্ঠ, সপ্তম, অষ্টম ও নবম শ্রেণির ছাত্রছাত্রীরা এই ভ্রমণে যাবে। আমি ও সুমিতা এবছরে কোন শ্রেণির কতজন ছাত্রছাত্রী যাবে তার একটি তালিকা তৈরি করি ও স্তম্ভ চিত্র তৈরি করি।

2013 সালে শিক্ষামূলক ভ্রমণে যাওয়ার সংখ্যা –

• ষষ্ঠ শ্রেণি – 36 জন
• সপ্তম শ্রেণি – 38 জন
• অষ্টম শ্রেণি – 42 জন
• নবম শ্রেণি – 45 জন

স্কেল : 1 একক = 1 জন ছাত্রছাত্রী

2013 সালের শিক্ষামূলক ভ্রমণের স্তম্ভ চিত্র

ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা

শ্রেণি $\rightarrow$

50

40

30

20

10

0

ষষ্ঠ   সপ্তম   অষ্টম   নবম

অধ্যায় : 16

দ্বি-স্তম্ভ লেখচিত্র

2012 সালের স্তম্ভ চিত্র থেকে কী জানলাম লিখি -

1) 2012 সালেও শিক্ষামূলক ভ্রমণে ষষ্ঠ, সপ্তম, অষ্টম ও নবম শ্রেণির ছাত্রছাত্রীরা গিয়েছিল।

2) 2012 সালে ষষ্ঠ শ্রেণির ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা ছিল 40 -এর কম।

3) 2012 সালে সপ্তম শ্রেণির ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা ছিল প্রায় $\Box$ -এর কাছাকাছি।

4) 2012 সালে অষ্টম শ্রেণিতে ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা ছিল প্রায় 30 ও $\Box$ -এর মাঝামাঝি।

5) 2012 সালে নবম শ্রেণির ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা ছিল প্রায় $\Box$ -এর কাছাকাছি।

1. কিন্তু 2012 ও 2013 সালের শিক্ষামূলক ভ্রমণের ছাত্রছাত্রীর ঠিক তুলনা আরও সহজে কীভাবে করা যায়?

নীচের চিত্র দেখি ও আরও সহজে তুলনার চেষ্টা করি -

স্কেল : 1 একক = 1 জন ছাত্রছাত্রী

2012 সালের শিক্ষামূলক ভ্রমণে যাওয়া ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা

2013 সালের শিক্ষামূলক ভ্রমণে যাওয়া ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা

ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা

শ্রেণি $\rightarrow$

50

40

30

20

10

0

ষষ্ঠ   সপ্তম   অষ্টম   নবম

এই চিত্র থেকে সহজে বুঝতে পারছি যে 2013 সালে 2012 সালের তুলনায় ষষ্ঠ শ্রেণি ও অষ্টম শ্রেণির ভ্রমণে যাওয়া ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা বেড়েছে। কিন্তু সপ্তম শ্রেণি ও নবম শ্রেণির ভ্রমণে যাওয়া ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা কমেছে।

কিন্তু এই রকম চিত্রকে কী বলব?

দুটি স্তম্ভ চিত্রকে পাশাপাশি রেখে দুটি তথ্য সহজে তুলনা করার জন্য যে চিত্র আঁকি তাকে দ্বিস্তম্ভ লেখচিত্র (Double Bar Graph) বলা হয়।

অধ্যায় : 16

দ্বি-স্তম্ভ লেখচিত্র

2. আমার বোন পঞ্চম শ্রেণিতে পড়ে। আমি আমার বোনের দুটি পরপর পর্যায়ক্রমিক মূল্যায়নে বিভিন্ন বিষয়ে পাওয়া শতকরা নম্বরের দ্বিস্তম্ভ লেখচিত্র তৈরি করি ও কোন্ কোন্ বিষয়ে ফল ভালো করেছে, আবার কোন্ কোণন বিষয় আরও ভালো করার প্রয়োজন তা স্তম্ভ লেখচিত্র থেকে বোঝার চেষ্টা করি।

স্কেল : 1 একক = 1 %

প্রথম

দ্বিতীয়

শতকরা $\rightarrow$

বিষয় $\rightarrow$

বাংলা   গণিত   ইংরেজি   পরিবেশ পরিচয়   শারীর শিক্ষা ও কলা শিক্ষা

দ্বিস্তম্ভ লেখচিত্র থেকে দেখি -

1) কোন্ কোণ পর্যায়ক্রমিক মূল্যায়ন থেকে দ্বিতীয় পর্যায়ক্রমিক মূল্যায়নে বাংলা, গণিত ও শারীর শিক্ষা ভালো ফল করেছে।

2) দ্বিতীয় পর্যায়ক্রমিক মূল্যায়নে সবচেয়ে বেশি ভালো করেছে $\Box$ বিষয়ে।

কিন্তু প্রথম পর্যায়ক্রমিক পরীক্ষার চেয়ে দ্বিতীয় পর্যায়ক্রমিক পরীক্ষায় সবচেয়ে অবনতি ঘটেছে $\Box$ বিষয়ে।

তাই বোনের অন্য বিষয়ের মধ্যে ইংরেজি ও পরিবেশ পরিচয়ে বিশেষভাবে প্রস্তুতির প্রয়োজন।

অধ্যায় : 16

দ্বি-স্তম্ভ লেখচিত্র

3. আমাদের স্কুলে নাচ, গান, আবৃত্তি ও তাৎক্ষণিক বক্তৃতার অনুষ্ঠান হবে। আমি ও সায়ানা ষষ্ঠ ও সপ্তম শ্রেণির ছাত্রছাত্রীদের একটি তালিকা তৈরি করলাম।